Question

【題目】已知：在四邊形中， ， ， ， ．

（）求四邊形的面積．

（）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，求周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)的長(zhǎng)．

（）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)， 、為邊上的點(diǎn)， ，連接、，分別交、 于點(diǎn)、，記和重疊部分的面積為，求的最值．

Answer 1

【答案】（）．（）．3．（）．

【解析】試題分析：（1）如圖1，過(guò)A作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，得到四邊形AEFD是矩形，由矩形的想知道的EF=AD=6，BE=CF=3，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論；
（2）如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接CG交AD于P，則BC+PB+PC=BC+PG+PC即為△BCP周長(zhǎng)的最小值，根據(jù)勾股定理得到，于是得到△BCP周長(zhǎng)的最小值為：4+12；根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到PH=BC=6，由勾股定理得到，于是得到結(jié)論．

（3）過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，如圖所示，設(shè)，則．因?yàn)?/span>，所以∽，得；同理可得∽， ∽，得： ， ，所以，進(jìn)而求得答案.

試題解析：（）如圖1，過(guò)作于， 于．

則四邊形是矩形．

∴， ．

∴．

∴．

（）如圖2，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

連接交于，則．

即為的最小周長(zhǎng)．

由（）知．

在中， ．

∴的．

∵， ，

∴．

∵，

∴．

（）過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，如圖3所示，設(shè)，則．

因?yàn)?/span>，所以∽，

所以，又，所以；

同理可得∽， ∽，

所以， ，

求得： ， ，其中，

所以，

即

．

因此當(dāng)時(shí)， 有最大值；當(dāng)或時(shí)， 有最小值了．