Question

7．請觀察下列算式，找出規(guī)律并解題：
$\frac{1}{1×2}$=1$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$$-\frac{1}{5}$，則：
（1）第10個算式是$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$．　
（2）第n個算式是$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（3）求$\frac{1}{1×2}$$+\frac{1}{2×3}$$+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$的值；
（4）計算$\frac{1}{1×4}$$+\frac{1}{4×7}$$+\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{22×25}$．

Answer 1

分析 （1）由題意知序數(shù)與序數(shù)加1乘積的倒數(shù)等于序數(shù)和序數(shù)加1的倒數(shù)差，據(jù)此可得；
（2）根據(jù)（1）中規(guī)律可得；
（3）利用以上規(guī)律，裂項相消求解可得；
（4）根據(jù)以上規(guī)律將原式變形可得$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{22}$-$\frac{1}{25}$），繼而可得答案．

解答 解：（1）第10個算式為$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$，
故答案為：$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$；

（2）第n個算式為$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案為：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（3）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$
=1-$\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$；

（4）原式=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{22}$-$\frac{1}{25}$）
=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{25}$）
=$\frac{1}{3}$×$\frac{24}{25}$
=$\frac{8}{25}$．

點評 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律及實數(shù)的混合運算，利用已得規(guī)律，運用裂項相消的計算方法是解題的關(guān)鍵．