Question

若△ABC的三邊分別為a、b、c，且a²+b²+c²＜6．證明：可以用一個單位圓覆蓋△ABC．

Answer 1

考點：三角形的外接圓與外心

專題：證明題

分析：只需要證明直徑小于2或者半徑小于1即可．根據(jù)已知條件，將三角形分為鈍角三角形，銳角三角形兩種情況分別證明．

解答：證明：分兩種情況：
①當△ABC為鈍角三角形時，
不妨設c是最長邊，此時，∠C＞90°為鈍角，
∴以c為直徑的圓必然覆蓋△ABC．
只需證明直徑c＜2即可．
根據(jù)柯西不等式：
a²+b²≥

1

2

（a+b）²＞

1

2

（c²），
∴a²+b²+c²＞

1

2

（c²）+c²=

3

2

（c²）
∴

3

2

（c²）＜6 即：c²＜4
∴c＜2；
②當△ABC為銳角三角形時，
△ABC的外接圓必然可以覆蓋它，
只需證明外接圓半徑R＜1；
根據(jù)正弦定理：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
即得：4（R²）[（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²]＜6，
應用三角恒等式：
（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC＞2【用二倍角與和差化積易證】
∴8（R²）＜4（R²）[（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²]＜6
∴R²＜3/4＜1，
∴R＜1．
綜上所述：用單位圓可以覆蓋△ABC．

點評：本題考查了三角形外接圓性質(zhì)的運用．根據(jù)已知條件將三角形分類，運用特殊不等式解題．