Question

如圖所示(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B、C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．

求證：(1)BD=DE＋CE；

(2)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時(shí)(BD＜CE)，其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何，請(qǐng)予證明．

(3)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖(3)時(shí)(BD＞CE)，其余條件不變，BD與DE、CE的關(guān)系怎樣?請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需證明．

(4)歸納(1)、(2)、(3)，請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語言表述BD、DE、CE的關(guān)系．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：(1)∵BD⊥AE，CE⊥AE， ∴∠ADB=∠AEC=90°． ∵∠BAC=90°，∠ADB=90° ∴∠ABD＋∠BAD=∠CAE＋∠BAD=90°． ∴∠ABD=∠CAE． 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS)， ∴BD=AE，AD=CE． ∵AE=AD＋DE， ∴BD=CE＋DE． (2)BD=DE－CE，證明方法與(1)相同． (3)BD=DE－CE． (4)歸納(1)、(2)、(3)所得結(jié)論表述為：當(dāng)B、C在AE異側(cè)時(shí)，BD=DE＋CE．當(dāng)B、C在AE同側(cè)時(shí)，BD=DE－CE．

提示：

(1)要證BD=DE＋CE，將其變形為DE=BD－CE，而DE=AE－AD，故只要證明AE=BD，AD=CE即可，若證明△ABD≌△CEA問題便可得到解法． (2)、(3)由圖形較易猜想BD=DE－CE，仿照(1)通過三角形全等即可證明．