在△ABC中,∠C=90°,AC,BC的長(zhǎng)分別是b,a,且cotB=AB•cosA.
(1)求證:b2=a;
(2)若b=2,拋物線y=m(x-b)2+a與直線y=x+4交于點(diǎn)M(x1,y1)和點(diǎn)N(x2,y2),且△MON的面積為6(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).求m的值;
(3)若n2=
4ab2
,p-q-3=0
,拋物線y=n(x2+px+3q)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中,一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè),試判斷拋物線與y軸的交點(diǎn)是在y軸的正半軸還是負(fù)半軸,說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義把三角函數(shù)值化成對(duì)應(yīng)邊的比即可.
(2)根據(jù)(1)中所求a、b的值代入二次函數(shù)的解析式,解關(guān)于一次函數(shù)與二次函數(shù)的方程組,求出m的取值范圍,過(guò)O作OD⊥MN于D,由直線的解析式求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn),根據(jù)三角形的面積公式可求出MN的值,找出兩交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出m的值.
(3)由(1)中所求a、b的值代入關(guān)系式,可求出n的值,再根據(jù)p、q的關(guān)系可把一個(gè)未知數(shù)當(dāng)作已知表示出另一個(gè)未知數(shù),代入二次函數(shù)的關(guān)系式,根據(jù)已知條件判斷出未知數(shù)的符號(hào),再根據(jù)n的值試判斷拋物線與y軸的交點(diǎn)是在y軸的正半軸還是負(fù)半軸.
解答:精英家教網(wǎng)證明:(1)∵cosB=
a
b
,cosA=
b
AB
,
∵cotB=AB•cotB=
a
b
,cosA=
b
AB
,
∵cotB=AB•cosA,∴
a
b
=AB•
b
AB
,
∴a=b2

(2)∵b=2且a=b2故a=4
∴y=m(x-2)2+4
y=m(x-2)2+4
y=x+4

得mx2-(4m+1)x+4m=0①
要使拋物線與直線有交點(diǎn),則方程①中△>0
得m>-
1
8

過(guò)O作OD⊥MN于D,設(shè)E、F為直線y=x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),則E(-4,0),F(xiàn)(0,4)
∴DO=2
2

又∵S△MON=
1
2
•OD•MN=6,
∴MN=
6
2
=3
2

過(guò)M、N分別作x軸、y軸的平行線交于點(diǎn)P
則|MP|=|x2-x1|,NP=|y2-y1|,
又∵y2=x2+4,y1=x1+4,即|NP|=|x2-x1|
故|MN|=
2
|x2-x1|,
∴|x2-x1|=3
即(x2-x12=9
由方程①得
x1+x2=
4m+1
m
x1x2=4

∴(
4m+1
m
2-4×4=9
得m=1或m=-
1
9


(3)∵n2=
4a
b2
且b2=a
∴n2=4?n=±2
又p-q-3=0,
即p=q+3,即y=n[x2+(q+3)x+3q]=n(x+3)(x+q)
∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè),故q<0
而拋物線與y軸交點(diǎn)為(0,3nq)
∴當(dāng)n=2時(shí),3nq<0,交y軸于負(fù)半軸
當(dāng)n=-2時(shí),3nq>0,交y軸于正半軸.
點(diǎn)評(píng):此類題目很復(fù)雜,一般作為中考?jí)狠S題,解答此類題目的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及坐標(biāo)系內(nèi)各象限橫縱坐標(biāo)的特點(diǎn),需同學(xué)們熟練掌握.
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23、如圖,在△ABC中,CD⊥AB,垂足為D,點(diǎn)E在BC上,EF⊥AB,垂足為F.
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在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE.
精英家教網(wǎng)
(1)如圖1.連接BE、CD,BE與CD交于點(diǎn)O,
①證明:DC=BE;
②∠BOC=
 
°. (直接填答案)
(2)如圖2,連接DE,交AB于點(diǎn)F.DF與EF相等嗎?證明你的結(jié)論.

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18、如圖,在△ABC中,邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E、已知△ABC中與△ABD的周長(zhǎng)分別為18cm和12cm,則線段AE的長(zhǎng)等于
3
cm.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,∠C=90°,BC=12,AB=13,則tanA的值是( 。
A、
5
12
B、
12
5
C、
12
13
D、
5
13

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,a=
2
,b=
6
,c=2
2
,則最大邊上的中線長(zhǎng)為(  )
A、
2
B、
3
C、2
D、以上都不對(duì)

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