Question

已知x₁，x₂是關于工的方程x²-3x+m=0兩個不相等的實數(shù)根，設S=x₁²+x₂²．
（1）求S關于m的函數(shù)解析式，并求自變量m的取值范圍；
（2）當函數(shù)值S=7時，求x₁³+8x₂的值．

Answer 1

分析：（1）由根與系數(shù)的關系可得出x₁+x₂、x₁x₂的值，再將S的表達式配成完全平方式，再將x₁+x₂、x₁x₂的值整體代入，即可得出S、m的函數(shù)關系式；m的取值范圍可由根的判別式得出；
（2）首先可求出S=7時，m的值；然后將所求代數(shù)式進行拆分，再將此時x₁+x₂，x₁x₂的值代入求解．

解答：解：（1）由題意，得：x₁+x₂=3，x₁x₂=m；
∴S=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9-2m；
由于原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故△=9-4m＞0，即m＜

9

4

；
即S=9-2m（m＜

9

4

）；
（2）當S=7時，9-2m=7，即m=1；
此時x₁+x₂=3，x₁x₂=1；
∴x₁³+8x₂=x₁³+（x₁²+x₂²+x₁x₂）x₂
=x₁³+x₁²x₂+x₂³+x₁x₂²
=x₁³+x₂³+x₁+x₂
=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）+x₁+x₂
=（x₁+x₂）（x₁²+x₂²-x₁x₂+1）
=3×（7-1+1）=21．

點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．