Question

如圖，等腰△ABC中，AC=BC=6，AB=8．以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）連接BG，求sin∠GBC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形中等邊對等角即可證得：∠ODB=∠A，則OD∥AC，再依據(jù)DF⊥AC，即可證得OD⊥EF，從而證得EF是圓的切線；
（2）根據(jù)BG是直角△ABG與直角△BGC的公共邊，依據(jù)勾股定理即可得到關(guān)于AG的方程，解得AG的長，則依據(jù)正切的定義即可求解．
解答：（1）證明：如圖，連接OD，則 OD=OB
∴∠CBA=∠ODB．
∵AC=BC，
∴∠CBA=∠A．
∴∠ODB=∠A．
∵OD∥AC，
∴∠ODE=∠CFE．
∵DF⊥AC于F，
∴∠CFE=90°．
∴∠ODE=90°．
∴OD⊥EF．
∴EF是⊙O的切線．

解：（ 2 ）∵BC是直徑，
∴∠BGC=90°，
設(shè) CG=x，則 AG=AC-CG=6-x．
在Rt△BGA中，BG²=AB²-AG²=8²-（6-x）²．
在Rt△BGC中，BG²=BC²-CG²=6²-x²．
則8²-（6-x）²=6²-x²．
解得  x=，即CG=．
在Rt△BGC中，sin∠GBC==．
點評：本題考查切線的判定及三角函數(shù)，證明切線的問題常用的方法是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的問題．