Question

如圖所示，設(shè)P為等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=2

2

，PA=1，PC=3，則∠APB=

150°

．

Answer 1

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BA=BC，∠ABC=60°，于是可把△BPC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BD=BP=2

2

，∠DBP=60°，AD=PC=3，可判斷△BPD為等邊三角形，
則PD=PB=2

2

，∠DPB=60°；在△APD中，由于PD=2

2

，AP=1，AD=3，利用勾股定理的逆定理可得到△APD是以AD為斜邊的直角三角形，則∠APD=90°，再利用∠APB=∠APD+∠DPB計(jì)算即可．

解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴把△BPC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°可得到△BDA，如圖，
∴BD=BP=2

2

，∠DBP=60°，AD=PC=3，
∴△BPD為等邊三角形，
∴PD=PB=2

2

，∠DPB=60°，
在△APD中，PD=2

2

，AP=1，AD=3，
∵（2

2

）²+1²=3²，
∴PD²+PA²=AD²，
∴△APD是以AD為斜邊的直角三角形，
∴∠APD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+60°=150°．
故答案為150°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．