Question

13．如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)O為圓心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足為E，交⊙O于D，連續(xù)BE，設(shè)∠BEC=α，則cosa的值為$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 首先連接BC，根據(jù)AB為⊙O直徑，可得∠BCA=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出BC的長度是多少；然后在Rt△BCE中，由勾股定理，求出BE的長度是多少；最后根據(jù)一個(gè)角的正弦的求法，求出sinα的值為多少即可．

解答 解：如圖，連接BC，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠BCA=90°，
又∵AB=2OA=10，AC=8，
∴BC=6，
又∵OD⊥AC，
∴CE=AE=4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得
BE=$\sqrt{B{C}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴cosa=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{4}{2\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．還考查了直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，還考查了銳角三角函數(shù)的定義以及求法，要熟練掌握．