Question

已知，如圖二次函數(shù)的圖象與y軸交于點C（0，

4）與x軸交于點A、B，點B（4，0），拋物線的對稱軸為x=1．直線AD交拋物線于點

D（2，m），

（1）求二次函數(shù)的解析式并寫出D點坐標；

（2）點Q是線段AB上的一動點，過點Q作QE∥AD交BD于E，連結(jié)DQ，當△DQE

的面積最大時，求點Q的坐標；

（3）拋物線與y軸交于點C，直線AD與y軸交于點F，點M為拋物線對稱軸上的動點，

點N在x軸上，當四邊形CMNF周長取最小值時、求出滿足條件的點M和點N的

坐標．

Answer 1

（1）由題意有：解得：，b=1，c=4 

所以，二次函數(shù)的解析式為：

∵點D(2，m)在拋物線上，即

_{所以點D的坐標為(2，4)}

（2）令y=0，即 解得：x₁=4，x₂=-2

∴A，B點的坐標分別是(-2，0)，(4，0)

過點E作EG⊥QB，垂足為G，設(shè)Q點坐標為(t，0)，

∵QE∥AD，  ∴△BEQ與△BDA相似

∴即∴

∴S_△BEQ

∴

∴當t=1時，S_△DQE有最大值，所以此時Q點的坐標為(1，0)

（3）解：如圖，，可求得直線AD的

解析式為：即點F的坐標為：過點F作關(guān)

于x軸的對稱點F′，即連接CD，再連接DF′交對

稱軸于M′，x軸于N′，由條件可知，點C，D是關(guān)于對稱軸

x=1對稱

∴CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+

∴四邊形CFNM的周長=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C

即四邊形CFNM的最短周長為：

此時直線DF′ 的解析式為：

所以存在點N的坐標為N，點M的坐標為M(1，1)