Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，M是軸正半軸上一點，⊙M與軸的正半軸交于A、B兩點，A在B的左側，且OA、OB的長是方程的兩根，ON是⊙M的切線，N為切點，N在第四象限．

（1）求⊙M的直徑；
（2）求直線ON的函數(shù)關系式；
（3）在軸上是否存在一點T，使△OTN是等腰三角形？若存在，求出T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

詳見解析.

試題分析：（1）由因式分解求出方程的解，確定A，B兩點的坐標，進而求出AB的長度即⊙M的直徑.
（2）如下圖：求直線ON的解析式，必須求出點N的坐標.因此可過點N作NP⊥AB于點P，連接MN，運用勾股定理F分別求出ON的長度，進而利用面積求出NP的長度，即點N縱坐標的絕對值；再次運用勾股定理確定OP的長度，即點N的橫坐標的絕對值.結合點N位于第四象限確定點N的坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線ON的解析式.
（3）求是否存在點T使ΔOTN為等腰三角形，應分類討論：即①當ON是等腰三角形的底邊時,則點T應在ON的垂直平分線上，利用平行線分線段成比例定理或相似三角形求解；②當ON是腰且點O是頂點時,即以點O為圓心、以ON為半徑作圓與x軸的交點即為所求點T；③當ON是腰且點N是頂點時，即以點N為圓心、以ON為半徑作圓與x軸的交點即為所求點T.
試題解析：
解：（1）由得

，
由圖可知,
∴OA=1,OB=3
∴OB-OA=3-1=2
∴⊙M的直徑等于2
（2）如下圖，連結MN，過點N作NP⊥軸于P，過點N作NQ⊥軸于Q
∵ON是⊙M的切線
∴ON⊥MN且MN=AB=1
在Rt△OMN中，

在Rt△OPN中，
∵點N在第四象限
∴N（，）
設直線ON的函數(shù)關系式為
把N（，）代入得：

∴

（3）存在，應分三種情況討論：
①如圖（1）當是等腰三角形的底邊時，頂點在的垂直平分線上.
∵ON⊥MN,
∴
∵
∴，即
②如圖（2），當ON是腰且點O是頂點時，以點O為圓心，ON的長為半徑作圓，交軸于和兩點.
∴，
∴、
③如圖（3），當ON是腰且點N是頂點時，以點N為圓心，ON的長為半徑作圓，交軸于點.則，
∴
綜上所述，在軸上存在四個點，使△OTN是等腰三角形，分別是、、、．