Question

已知：如圖，AB=AC，AB是⊙O的直徑，與BC交于點D，延長CA交⊙O于點F，連接DF，DE⊥CF于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=10，cosC=

4

5

，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接CD，由角邊之間的關系，證明∠ODE=∠CED=90°，
（2）連接AD，由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°，在Rt△DEF中，求得EF．

解答：（1）證明：連接OD，
∵AB=AC，OB=OD
∴∠B=∠C，∠B=∠ODB，
∴∠1=∠2
∴OD∥AC．
∵DE⊥CF，∴∠CED=90°
∴∠ODE=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接AD
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．
∵cosC=cosB=

4

5

．
∴cosF=cosB=

4

5

．
∵AB=10，
∴AC=10，
∴CD=10cosC=8，
∴AD=6，
10DE=AD×CD，
∴DE=

24

5

，
∵cosF=cosB=

4

5

，
設EF=4x，DF=5x，
∴（4x）²+（

24

5

）²=（5x）²，
解得：x=

8

5

，
∴EF=

32

5

，

點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．