如圖,拋物線與
軸交于
兩點(diǎn),與
軸交于
點(diǎn).
(1)請(qǐng)求出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)(用含
的代數(shù)式表示),
兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)經(jīng)探究可知,與
的面積比不變,試求出這個(gè)比值;
(3)是否存在使為直角三角形的拋物線?若存在,請(qǐng)求出;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
【解析】
試題分析:(1)將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式,即可得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo);拋物線的解析式中,令y=0,可求得A、B的坐標(biāo).
(2)易求得C點(diǎn)坐標(biāo),即可得到OC的長,以AB為底,OC為高,即可求出△ABC的面積;△BCM的面積無法直接求得,可用割補(bǔ)法求解,過M作MD⊥x軸于D,根據(jù)B、C、M四點(diǎn)坐標(biāo),可分別求出梯形OCMD、△BDM的面積,它們的面積和減去△BOC的面積即為△BCM的面積,進(jìn)而可得到△ABC、△BCM的面積比.
(3)首先根據(jù)B、C、M的坐標(biāo),求出BC2、BM2、CM2的值,由于△BCM中,B、C、M都有可能是直角頂點(diǎn),所以要分三種情況討論:①∠BCM=90°,②∠BMC=90°,③∠MBC=90°,在上述三種不同的直角三角形中,利用勾股定理可求得m的值,進(jìn)而可確定拋物線的解析式.
(1)
拋物線頂點(diǎn)
的坐標(biāo)為(1,
m)
拋物線
與
軸交于
兩點(diǎn),
當(dāng)
時(shí),
解得
兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(
)、(
);
(2)當(dāng)時(shí),
,
點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.
5分
過點(diǎn)作
軸于點(diǎn)
,則
=
=
=3m
(3)存在使為直角三角形的拋物線.
過點(diǎn)作
于點(diǎn)
,則
為
,
在中,
在中,
①如果是
,且
那么
即
解得,
存在拋物線
使得
是
;
②如果是
,且
那么
即
解得,
存在拋物線
,使得
是
;
③如果是
,且
,那么
即
整理得此方程無解.
以
為直角的直角三角形不存在.
綜上所述,存在拋物線和
使得是
.
考點(diǎn):二次函數(shù)的綜合題
點(diǎn)評(píng):此類問題綜合性強(qiáng),難度較大,在中考中比較常見,一般作為壓軸題,題目比較典型.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,拋物線與軸交于
(
,0)、
(
,0)兩點(diǎn),且
,與
軸交于點(diǎn)
,其中
是方程
的兩個(gè)根。(14分)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)
是線段
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)
作
∥
,交
于點(diǎn)
,連接
,當(dāng)
的面積最大時(shí),求點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)在(1)中拋物線上,
點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),在
軸上是
否存在點(diǎn),使以
為頂
點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,如果存在,
求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo),
若不存在,請(qǐng)說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,拋物線與
軸交于
兩點(diǎn),與
軸相交于點(diǎn)
.連結(jié)AC、BC,B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(1,0)、
,且當(dāng)x=-10和x=8時(shí)函數(shù)的值
相等.
1.求a、b、c的值;
2.若點(diǎn)同時(shí)從
點(diǎn)出發(fā),均以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿
邊運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).連結(jié)
,將
沿
翻折,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為幾秒時(shí),
點(diǎn)恰好落在
邊上的
處?并求點(diǎn)
的坐標(biāo)及四邊形
的面積;
3.上下平移該拋物線得到新的拋物線,設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E,若△ODE與△OBC相似,求新拋物線的解析式。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,拋物線與
軸交于A、B兩點(diǎn),與
軸交于C點(diǎn),四邊形OBHC為矩形,CH的延長
線交拋物線于點(diǎn)D(5,2),連結(jié)BC、AD.
(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式;
(2)將△BCH繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90º后再沿軸對(duì)折得到△BEF(點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)),判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上,并說明理由;
(3)設(shè)過點(diǎn)E的直線交AB邊于點(diǎn)P,交CD邊于點(diǎn)Q. 問是否存在點(diǎn)P,使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013屆四川省鹽邊縣紅格中學(xué)九年級(jí)下學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題
如圖,拋物線與
軸交于
兩點(diǎn),與
軸交于
點(diǎn).
(1)請(qǐng)求出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)(用含
的代數(shù)式表示),
兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)經(jīng)探究可知,與
的面積比不變,試求出這個(gè)比值;
(3)是否存在使為直角三角形的拋物線?若存在,請(qǐng)求出;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012屆仙師中學(xué)九年級(jí)第一次月考試考試數(shù)學(xué)卷 題型:選擇題
如圖,拋物線與軸交于
(
,0)、
(
,0)兩點(diǎn),且
,與
軸交于點(diǎn)
,其中
是方程
的兩個(gè)根。(14分)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)
是線段
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)
作
∥
,交
于點(diǎn)
,連接
,當(dāng)
的面積最大時(shí),求點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)在(1)中拋物線上,
點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),在
軸上是
否存在點(diǎn),使以
為頂
點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,如果存在,
求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo),
若不存在,請(qǐng)說明理由。
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