Question

如圖，已知⊙O的圓心O在射線PM上，PN切⊙O于Q，PO=20cm，∠P=30°，A、B兩點(diǎn)同時(shí)從P點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)A以4cm/s的速度沿PM方向移動，點(diǎn)B沿PN方向移動，且直線AB始終垂直PN．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，求下列問題．（結(jié)果保留根號）
（1）求PQ的長；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)直線AB與⊙O相切？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與⊙O相交的弦長是16cm？

Answer 1

分析：（1）連接OQ，由PN切⊙o于Q，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OQ⊥PN，又由PO=20cm，∠P=30°，即可求得PQ的長；
（2）作OH⊥AB于H，由AB⊥PN，即可得四邊形BHOQ是矩形，當(dāng)矩形BHOQ是正方形時(shí)，直線AB與⊙O相切．即可求得PA與AB的長，然后分別從當(dāng)PQ-PB=OQ時(shí)，直線AB第一次與⊙O相切與當(dāng)PB-PQ=OQ時(shí)，直線AB第二次與⊙O相切去分析求解，即可求得答案；
（3）由當(dāng)直線AB與⊙O相交于EF時(shí)，ER=8，EO=10，即可求得OR=6，又由PB=PQ±6時(shí)，EF的長都是16cm，點(diǎn)A的速度是4cm/s，求得點(diǎn)B的速度是2

3

cm/s，即可求得答案．

解答：解：（1）連接OQ，
∵PN切⊙O于Q，
∴OQ⊥PN，（2分）
∵PO=20（cm），∠P=30°，
∴OQ=10（cm），PQ=10

3

（cm）（4分）

（2）作OH⊥AB于H，
∵AB⊥PN，
∴四邊形BHOQ是矩形，
當(dāng)矩形BHOQ是正方形時(shí)，直線AB與⊙O相切．
∵PA=4t，
∴AB=2t，
故PB=2

3

t（6分）
當(dāng)PQ-PB=OQ時(shí)，直線AB第一次與⊙O相切，
∴10

3

-2

3

t=10
解得：t=5-

5

3

3

，
當(dāng)PB-PQ=OQ時(shí)，直線AB第二次與⊙O相切，
2

3

t-10

3

=10，
解得：t=5+

5

3

3

，
∴當(dāng)t=t=5±

5

3

3

時(shí)，直線AB與⊙O相切．（8分）

（3）當(dāng)直線AB與⊙O相交于EF時(shí)，ER=8，EO=10，
∴OR=6，
∴PB=PQ±6時(shí)，EF的長都是16cm．（10分）
∵點(diǎn)A的速度是4cm/s，
∴點(diǎn)B的速度是2

3

cm/s，
∴t₁=

10 3 -6

2 3

=5-

3

，t₂=

10 3 +6

2 3

=5+

3

∴當(dāng)t=5±

3

秒時(shí)，相交的弦長是16cm．（12分）

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．