Question

【題目】如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，垂直平分，分別交，，于點(diǎn)，，，連接，．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，為的中點(diǎn)，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明PB=PE,由ASA證明△BOQ≌△EOP ,得出PE=QB，證出四邊形ABGE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定即可得出結(jié)論;
（2）由三角形中位線定理可得AE=2OF，由勾股定理可得AE=8，再由勾股定理可得PB的長．

證明: （1）∵PQ垂直平分BE,
∴PB=PE，OB=OE,
∵四邊形ABCD是矩形, ∴AD∥BC
∴∠PEO=∠QBO,

在△BOQ與△EOP中，

∴△BOQ≌△EOP (ASA)

∴PE=QB,
又∵ AD// BC,
∴四邊形BPEQ是平行四邊形,
又∵PB=PE,
∴四邊形BPEQ是菱形;
（2） ∵點(diǎn)O,F為PQ,AB的中點(diǎn)，OB=OE，OF+OB=9,
∴AE =2OF，BE=2OB，AE+BE=2OF+2OB=18

設(shè)AE=x,BE=18-x,
在Rt△ABE中,BE2=AB2+AE2,
∴(18-x) 2=36+x2,
解得x=8

在Rt△ABP中
AB2+ AP2=PB2,
∴62+ (8-PB) 2=PB2,

∴PB=
∴PE=PB=