Question

4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的直角頂點C在拋物線y=ax²+bx上運動，斜邊AB垂直于y軸，且AB=8，∠ABC=60°，當Rt△ABC的斜邊AB落在x軸上時，B點坐標是（-3，0），A點恰在拋物線y=ax²+bx上．
（1）AB邊上的高線CD的長為2$\sqrt{3}$；
（2）Rt△ABC在運動過程中有可能被y軸分成兩部分，當這兩部分的面積相等時，求頂點C的坐標；
（3）P、M、N是拋物線上的動點且MN∥x軸（M在N的右側），是否存在一個△PMN≌△CBA（點P與點C對應）？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形兩銳角互余求出∠A=∠BCD=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BC、BD，再利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）根據點B的坐標和AB的長度求出點A的坐標，再求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）設AB、BC與y軸的交點分別為E、F，然后利用三角形的面積求出BE，再表示出DE，從而得到點C的橫坐標，再根據點C在拋物線上，把點C的橫坐標代入拋物線求解得到點C的縱坐標即可得解．
（4）如圖2中，不存在一個△PMN≌△CBA（點P與點C對應），假設存在△PMN≌△CBA，作PH⊥MN于H．先求出點M的坐標，再求出點P的坐標，證明點P不在拋物線的圖象上，即可解決問題．

解答 解：（1）∵∠CAB=60°，CD是斜邊AB上的高，
∴∠B=∠ACD=90°-60°=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
故答案為2$\sqrt{3}$．

（2）∵點B坐標是（-3，0），AB=8，
∴點A的坐標為（ 5，0），
∴OB=3，BD=2，
∴點C的坐標為（-1，2$\sqrt{3}$），
∵點A（ 5，0），C（-1，2$\sqrt{3}$）都在拋物線y=ax²+bx上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b=0}\\{a-b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
所以，拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x；

（3）如圖1中，設AB、BC與y軸的交點分別為E、F，

則EF=AE•tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE，
∵Rt△ABC被y軸分成兩部分，
∴$\frac{1}{2}$AE•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AB•CD，
即 $\frac{1}{2}$AE•$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=4$\sqrt{3}$，
解AE=2$\sqrt{6}$，
又∵AD=AB-BD=8-2=6，
∴點C的橫坐標為-（6-2$\sqrt{6}$）=-6+2$\sqrt{6}$，
∵點C在拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x上，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（-6+2$\sqrt{6}$）²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$（-6+2$\sqrt{6}$）=30$\sqrt{3}$-34$\sqrt{2}$，
所以，點C的坐標為（-6+2$\sqrt{6}$，30$\sqrt{3}$-34$\sqrt{2}$）．

（4）如圖2中，不存在一個△PMN≌△CBA（點P與點C對應）．理由如下，
假設存在△PMN≌△CBA，作PH⊥MN于H．

∵拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x的對稱軸x=$\frac{5}{2}$，
∵MN=AB=8，
∴點M的橫坐標為$\frac{5}{2}$+4=$\frac{13}{2}$，
∴點M的縱坐標為$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（$\frac{13}{2}$）²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$×$\frac{13}{2}$=$\frac{13\sqrt{3}}{4}$，
∴M（$\frac{13}{2}$，$\frac{13\sqrt{3}}{4}$），
∵△PMN≌△CBA，
∴PH=2$\sqrt{3}$HM=2，
∴P（$\frac{9}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），
對于拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x，當x=$\frac{9}{2}$時，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（$\frac{9}{2}$）²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$×$\frac{9}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴點P不在拋物線的圖象上．
∴不存在一個△PMN≌△CBA．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了直角三角形兩銳角互余的性質，勾股定理的應用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，（2）表示出點C的橫坐標是解題的關鍵，（3）難點在于利用三角形的面積求出點B到y(tǒng)軸的距離，即BE的長度，（4）關鍵是假設存在，求出點P的坐標，判斷點P是否在拋物線的圖象上即可，本題有難度，屬于中考壓軸題．