Question

如圖1，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到△ABD．

（1）求直線AB的解析式；
（2）當點P運動到點（，0）時，求此時DP的長及點D的坐標；
（3）是否存在點P，使△OPD的面積等于？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)直線AB的解析式是；（2）DP=,點D的坐標為（，）；
存在，點P的坐標分別為P₁（，0）、P₂（，0）、P₃（，0）、P₄（，0）

試題分析：（1）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．設直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標代入可求解.
（2）由△ABD由△AOP旋轉得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數(shù)求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標.
（3）分三種情況進行討論：
①當P在x軸正半軸上時，即t＞0時；②當P在x軸負半軸，但D在x軸上方時；即＜t≤0時
③當P在x軸負半軸，D在x軸下方時，即t≤時.
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值.
試題解析：
（1）如答圖1，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F.

由已知得：BF=OE=2，∴.
∴點B的坐標是（，2）.
設直線AB的解析式是y=kx+b（k≠0），則有
，解得.
∴直線AB的解析式是.
（2）∵△ABD由△AOP旋轉得到，
∴△ABD≌△AOP.∴AP=AD，∠DAB=∠PAO.
∴∠DAP=∠BAO=60°.∴△ADP是等邊三角形.
∴.
如答圖2，過點D作DH⊥x軸于點H，延長EB交DH于點G，則BG⊥DH.

在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，
∴BG=BD•cos60°=．DG=BD•sin60°=.
∴OH=EG=，DH=.
∴點D的坐標為（，）.
（3）存在.
假設存在點P，在它的運動過程中，使△OPD的面積等于.
設點P為（t，0），下面分三種情況討論：
①當t＞0時，如答圖2，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t.
∵△OPD的面積等于，∴，
解得（舍去）.
∴點P₁的坐標為（，0）.
②∵當D在x軸上時，如答圖3，

根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=，
∴當＜t≤0時，如答圖1，BD=OP=﹣t，DG=t，
∴GH=BF=2﹣（t）=2+t.
∵△OPD的面積等于，∴，解得.
∴點P₂的坐標為（，0），點P₃的坐標為（，0）.
③當t≤時，如答圖4，BD=OP=﹣t，DG=t，

∴DH=t﹣2.
∵△OPD的面積等于，
∴，解得（舍去）.
∴點P₄的坐標為（，0）.
綜上所述，點P的坐標分別為P₁（，0）、P₂（，0）、P₃（，0）、P₄（，0）.