Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，頂點(diǎn)B在第一象限，線段OA，OC的長是一元二次方程x2-12x+36=0的兩根，BC=4，∠BAC=45°．

(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)________點(diǎn) C的坐標(biāo)________；

(2)若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，求k的值；

(3)如圖過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D；在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與以P， O，A為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在，直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)(-6，0)，(6，0)；(2)k=16；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0，2)或(0，6)或(0，12)或(0，4+2)或(0，4-2).

【解析】

（1）首先利用直接開平方法求出方程 x2-12x+36=0的兩根，從而得出OA=OC=6，進(jìn)而得出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E， 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AE=BE， 設(shè)BE=x，EC=12-x， 在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并檢驗即可得出BE、OE的長從而得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；

（3）存在．如圖2，若點(diǎn)P在OD上，若△PDB∽△AOP，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出，根據(jù)比例式列出方程，求解即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如圖3，若點(diǎn)P在OD上方，△PDB∽△AOP， 根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出，則根據(jù)比例式列出方程，求解并檢驗即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如圖4，若點(diǎn)P在OD上方，△PDB∽△AOP，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出，根據(jù)比例式列出方程，求解并檢驗即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如圖5，若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸，△PDB∽△AOP，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出，根據(jù)比例式列出方程，求解并檢驗即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，綜上所述即可得出答案.

（1）解一元二次方程 x2-12x+36=0，

解得：x1=x2=6 ，

所以OA=OC=6 ，

故答案為：A（-6，0），C（6，0）；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，

∵∠BAC=45°，

∴AE=BE，

設(shè)BE=x，

∵AE+CE=OA+OC=12，

∴EC=12-x，

在RtΔBEC中，BC=，

∴，

整理得：x2-12x+32=0，

解得：x1=4 (不合題意舍去)，x2=8，

∴ BE=8，OE=8-6=2，

∴B（2，8），

把B（2，8）代入，得k=16，

（3）存在，

如圖2，

若點(diǎn)P在OD上，若△PDB∽△AOP，

則 ，即 ，

解得：OP=2或OP=6，

∴P(0，2)或P(0，6)；

如圖3，

若點(diǎn)P在OD上方，△PDB∽△AOP，

則 ，即 ，

解得：OP=12，

∴P(0，12)；

如圖4，

若點(diǎn)P在OD上方，△BDP∽△AOP，

則 ，即 ，

解得：OP=4+2或OP=4-2(不合題意舍去)，

∴P(0，4+2)；

如圖5，

若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸，△PDB∽△AOP，

則，即 ，

解得：OP=-4+2 或-4-2 (不合題意舍去)，

則P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4-2 )

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，4-2）.