Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D為AC中點，點E在BA的延長線上，且EA=AB，ED的延長線交BC于F，連AF．
（1）請寫出一對相似三角形并證明；
（2）當AF=4時，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）△ABF∽△DCF，過點A作AG∥BC交EF于G，則根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到

EA

EB

=

AG

BF

，

AG

CF

=

AD

DC

，然后利用已知條件

DC

AB

=

CF

BF

，接著利用由AB=AC得到∠B=∠C，利用這些條件即可確定△ABF∽△DCF；
（2）利用（1）中結(jié)論和相似三角形的性質(zhì)可以得到

CF

BF

=

1

2

（3），接著得到

DF

AF

=

CF

BF

=

1

2

（4），這樣可以求出DF=2，又由AG∥BC，點D為AC中點可以得到

GD

DF

=

AD

DC

=

1

1

，從而求出DG=2，GF=4，再由AG∥BC，EA=AB得到

FG

FE

=

BA

BE

=

1

2

，由此即可求解．

解答：（1）△ABF∽△DCF（1分）
證明：過點A作AG∥BC交EF于G，
則

EA

EB

=

AG

BF

，

AG

CF

=

AD

DC

，（2分）
∵EA=AB，點D為AC中點，
∴

AG

BF

=

1

2

，

AG

CF

=

1

1

，
∴

CF

BF

=

1

2

（1分）
又∵AB=AC，AD=DC，
∴CD=

1

2

AC=

1

2

AB，即

DC

AB

=

1

2

（1分），
∴

DC

AB

=

CF

BF

，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABF∽△DCF；

（2）解：∵△ABF∽△DCF，

CF

BF

=

1

2

（3），
∴

DF

AF

=

CF

BF

=

1

2

（4），
∴DF=2，
又∵AG∥BC，點D為AC中點，
∴

GD

DF

=

AD

DC

=

1

1

，
∴DG=2，
∴GF=4，
∵AG∥BC，EA=AB，
∴

FG

FE

=

BA

BE

=

1

2

，
∴EF=8．

點評：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，證明相似三角形主要利用了平行線分線段成比例的定理，求線段的長度分別利用了相似三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，題目比較麻煩，解題要有耐心．