Question

已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC，BD交于點(diǎn)P．
（1）如圖1，設(shè)⊙O的半徑是r，若

AB

+

CD

=πr，求證：AC⊥BD；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為G，AE交BD于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)E；過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，DH交AC于點(diǎn)N，交⊙O于點(diǎn)F；若AC⊥BD，求證：MN=EF．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接AO，BO，CO，DO設(shè)∠AOB=m°，∠DOC=n°，利用

AB

+

CD

=πr，得出m+n=180，再利用圓周角與圓心角的關(guān)系求出∠APD=90°，即可得出AC⊥BD；
（2）由DH⊥BC，AE⊥BC，可得出DF∥AE，進(jìn)而得出∠AEF+∠DFE=180°結(jié)合四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，可得出∠AEF=∠DAE，從而得出四邊形DAEF為等腰梯形，得出AD=EF，再由角的關(guān)系得出AD=AM，PD=PM，易證△NDP≌△AMP，得出ND=AM，所以四邊形AMND是平行四邊形，再由MN=AD，即可得出MN=EF．

解答：證明：（1）如圖1，連接AO，BO，CO，DO設(shè)∠AOB=m°，∠DOC=n°，

∵

AB

+

CD

=πr，
∴

mπr

180

+

nπr

180

=πr，
∴m+n=180，
∴2∠ADB+2∠DAC=180°
∴∠ADB+∠DAC=90°，
∴∠APD=90°，
∴AC⊥BD，
（2）如圖2，

∵DH⊥BC，AE⊥BC，
∴DF∥AE，
∴∠AEF+∠DFE=180°
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠DAE+∠DFE=180°，
∴∠AEF=∠DAE，
∴四邊形DAEF為等腰梯形，
∴AD=EF，
∵AC⊥BD，
∴∠PAM+∠AMP=90°，
AG⊥BC，
∴∠PAM+∠ACB=90°，
∴∠AMP=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠AMP，
∴AD=AM，
∴PD=PM，
∵DF∥AE，
∴∠AMP=∠NDP
∴△NDP≌△AMP，
∴ND=AM，
∴四邊形AMND是平行四邊形，
∴MN=AD，
∴MN=EF．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的綜合題，涉及圓周角，平行四邊形的判定及全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意求出四邊形AMND是平行四邊形．