Question

【題目】已知，如圖二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，4）與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)B（4，0），拋物線的對稱軸為x=1．直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，m）．

（1）求二次函數(shù)的解析式并寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QBE和△ABD相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）拋物線與y軸交于點(diǎn)C，直線AD與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)M為拋物線對稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，當(dāng)四邊形CMNF周長取最小值時(shí)，求出滿足條件的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）由題可得： ，

解得： ，

則二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+x+4．

∵點(diǎn)D（2，m）在拋物線上，

∴m=﹣ ×22+2+4=4，

（2）

解：過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，如圖1，

∵點(diǎn)D（2，4），點(diǎn)B（4，0），

∴DH=4，OH=2，OB=4，

∴BH=2，∴DB= =2 ．

∵點(diǎn)E為DB的中點(diǎn)，

∴BE= BD= ．

令y=0，得﹣ x2+x+4=0，

解得：x1=4，x2=﹣2，

∴點(diǎn)A為（﹣2，0），

∴AB=4﹣（﹣2）=6．

①若△QBE∽△ABD，

則 = ，

∴ = ，

解得：BQ=3，

∴OQ=OB﹣BQ=4﹣3=1，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）；

②若△QBE∽△DBA，

則 = ，

∴ = ，

∴BQ= ，

∴OQ=OB﹣BQ=4﹣ = ，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ，0）．

綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）或（ ，0）；

（3）

解：如圖2，由A（﹣2，0），D（2，4），

可求得直線AD的解析式為：y=x+2，

即點(diǎn)F的坐標(biāo)為：F（0，2），

過點(diǎn)F作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F′，即F′（0，﹣2），連接DF′交對稱軸于M′，x軸于N′，

由條件可知，點(diǎn)C，D是關(guān)于對稱軸x=1對稱，

則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2 ，

則四邊形CFNM的周長=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C，

即四邊形CFNM的最短周長為：2+2 ．

此時(shí)直線DF′的解析式為：y=3x﹣2，

所以存在點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（ ，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（1，1）．

【解析】（1）首先運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，然后把點(diǎn)D（2，m）代入二次函數(shù)的解析式，就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，如圖1，根據(jù)勾股定理可求出BD，易求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得到AB長，然后分兩種情況：①△QBE∽△ABD，②△QBE∽△DBA討論，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出BQ，從而得到OQ，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）根據(jù)待定系數(shù)法得到直線AD的解析式為：y=x+2，過點(diǎn)F作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F′，即F′（0，﹣2），連接DF′交對稱軸于M′，x軸于N′，由條件可知，點(diǎn)C，D是關(guān)于對稱軸x=1對稱，則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2 ，得到四邊形CFNM的最短周長為：2+2 時(shí)直線DF′的解析式為：y=3x﹣2，從而得到滿足條件的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．