Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A。

（1）如圖1，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B，C，當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)：
①求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
②在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的，若存在，試求出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）四邊形OKPA是正方形。理由如下： ∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切， ∴PA⊥OA，PK⊥OK， ∴∠PAO=∠OKP=90°， 又∵∠AOK=90°， ∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°， ∴四邊形OKPA是矩形， 又∵OA=OK， ∴四邊形OKPA是正方形； （2）①連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為， 過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G， ∵四邊形ABCP為菱形， ∴BC=PA=PB=PC， ∴△PBC為等邊三角形， 在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG= sin∠PBG=，即，解之得：x=±2（負(fù)值舍去）， ∴PG=，PA=BC=2， 易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1， ∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3， ∴A（0，），B（1，0）C（3，0）， 設(shè)二次函數(shù)解析式為：，據(jù)題意得：， 解之得：， ∴二次函數(shù)關(guān)系式為：； ②設(shè)直線BP的解析式為：y=kx+b，據(jù)題意得：， 解之得：， ∴直線BP的解析式為：， 過(guò)點(diǎn)A作直線AM∥PB，則可得直線AM的解析式為：， 解方程組：得， 過(guò)點(diǎn)C作直線CM∥PB，則可得直線CM的解析式為：， 解方程組：得， 綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè)：（0，），（7，8），（3，0），（4，）。