![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5364c6ca3985a.png)
(1)證明:如圖,連接OD、AD.
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴AD是△ABC的中線,即D是BC的中點,
∵O是AB的中點,
∴OD是△ABC的中位線,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切線;
(2)解:過D作DG⊥AB,垂足為G.
由(1)知,AD是等腰△ABC底邊BC的中線、高線,
∴AD平分∠BAC,
∴DE=DB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
.
在Rt△ABD中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559591.png)
,
在Rt△ABD中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559592.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559593.png)
,
∴DG=2.
∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,DG⊥AB,
∴DF=DG=2,
在Rt△DEF中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559594.png)
.
在Rt△ADF中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559595.png)
.
∴AE=AF-EF=3.
分析:(1)如圖,連接OD、AD.欲證明DF是⊙O的切線,只需證得DF⊥OD;
(2)過D作DG⊥AB,垂足為G.根據(jù)等腰△ABC“三合一”的性質推知AD平分∠BAC,則DE=DB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
.在Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理求得AD、的長度,然后利用面積法求得
DG=2;然后由角平分線的性質證得DF=DG=2,在Rt△DEF中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559594.png)
.在Rt△ADF中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559595.png)
,所以
AE=AF-EF=3.
點評:本題考查了切線的判定與性質,要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.