在平面直角坐標系xOy中,點的坐標是
,過點
作直線
垂直
軸,點
是直線
上異于點
的一點,且
.過點
作直線
的垂線
,點
在直線
上,且在直線
的下方,
.設點
的坐標為
.
(1)判斷△的形狀,并加以證明;
(2)直接寫出與
的函數(shù)關系式(不要求寫自變量的取值范圍);
(3)延長交(2)中所求函數(shù)的圖象于點
.求證:
.
(1)△為等腰三角形;(2)
;
【解析】
試題分析:(1)由,
,可得
,由
,可得到
,即可得到
,即可作出判斷;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象上的點的坐標的特征求解即可;
(3)過作
于
,
于
交直線
于
,由BC=OC可得
,設
,
,則
,
,再分①當點
在
軸下方時,②當點
在
軸上方時,③當點
在
軸上時,三種情況,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.
(1)△為等腰三角形
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∴.
∴△為等腰三角形;
(2)與
的函數(shù)關系式為
;
(3)過作
于
,
于
交直線
于
.
∵C為拋物線上異于頂點的任意一點,且BC=OC,
∴.
設,
,
則,
.
①當點在
軸下方時,
∵
∴.
∵∥
,
∴△∽△
.
∴.
∴
∴.
∴;
②當點在
軸上方時,
,
.同理可證
;
③當點在
軸上時,
.
∴.
考點:函數(shù)綜合題
點評:此類問題綜合性強,難度較大,在中考中比較常見,一般作為壓軸題,題目比較典型.
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