Question

按下面規(guī)則擴(kuò)充新數(shù)：已有兩數(shù)a、b，可按規(guī)則c=ab+a+b擴(kuò)充一個新數(shù)，在a、b、c三個數(shù)中任取兩數(shù)，按規(guī)則又可擴(kuò)充一個新數(shù)，…每擴(kuò)充一個新數(shù)叫做一次操作．現(xiàn)有數(shù)1和4．
（1）求按上述規(guī)則操作三次得到擴(kuò)充的最大新數(shù)；
（2）能否通過上述規(guī)則擴(kuò)充得到新數(shù)1999，并說明理由．

Answer 1

（1）第一次只能得到1×4+1+4=9；因為要求最大新數(shù)，所以，第二次取4和9，得到4×9+4+9=49；同理，第三數(shù)取9和49，就得到擴(kuò)充三次的最大數(shù)為499．
（2）因c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，故c+1=（a+1）（b+1），
取數(shù)b、c可得新數(shù)d=（b+1）（c+1）-1=（b+1）（a+1）（b+1）-1=（a+1）（b+1）²-1，即d+1=（a+1）（b+1）²，
同理可得e=（c+1）（d+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）（b+1）²-1，e+1=（a+1）²（b+1）³
第四次擴(kuò)充：49×499+49+499=24999＞1999，
即第三次得到的新數(shù)為499，第四次得到的新數(shù)為24999，
故1999不可以通過上述規(guī)則擴(kuò)充得到．