Question

（2013•本溪一模）如圖，已知：△ABC是的⊙O內(nèi)接三角形，D是OA延長線上的一點(diǎn)，連接DC，且∠B=∠D=30°．
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AC=6，∠ACB=45°，求弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OCD，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）連接OB，求出∠AOB=90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定求出OA=6，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：（1）解：直線CD與⊙O的位置關(guān)系是相切，
理由是：連接OC，
∵∠AOC和∠ABC分別是弧AC對的圓心角和圓周角，
∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC為半徑，
∴直線DC是⊙O的切線，
即直線CD與⊙O的位置關(guān)系是相切．

（2）解：連接OB，
∵∠AOB和∠ACB分別是弧AB對的圓心角和圓周角，
∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，
∵∠AOC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴OA=AC=6=OB，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=

62+62

=6

2

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．