Question

【題目】已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，0），直線與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，－4），B點(diǎn)在y軸上．

（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)Q，使△QAB的周長最小，并求出此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若P（t，0）是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，過P作x軸的垂線分別與直線AB和二次函數(shù)的圖象交于D、E兩點(diǎn)．

①設(shè)線段DE的長為h，當(dāng)0＜t＜3時(shí)，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

②若直線AB與拋物線的對稱軸交點(diǎn)為N，問是否存在一點(diǎn)P，使以M、N、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ,m=-1;（2） (,0);（3）① ；

② 存在,理由見解析.

【解析】分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=，將A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線和直線的解析式，即可求出拋物線的解析式和m的值；（2）使△QAB的周長最小，即是求AQ+BQ的值最小，作出B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，當(dāng)A、Q、B′三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，△QAB的周長最小，求得直線AB'的解析式，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）①根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出h與t之間的函數(shù)關(guān)系式；② 存在，分拋物線在直線上方時(shí)和拋物線在直線下方時(shí)兩種情況求點(diǎn)P的坐標(biāo).

詳解：

(1)∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)M(1, 0), ∴二次函數(shù)可表達(dá)為y=

又∵圖象過A（3，－4），∴=-4，解得a=-1,

∴二次函數(shù)解析式為： ,

A(3,－ 4)在直線y = －x + m上：-3+m=-4,m=-1；
（2）由得B(0,-1)，
B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B'(0, 1)
設(shè)直線AB'的解析式為:y=kx+1，將A（3，－4）代入得：-4=3k+1，解得k=- ,

∴y=-，令y=0，得x=,
∴ (,0)，此時(shí)A、Q、在一條直線上，所以 ,

即△QAB的周長最小， (,0),

（3）直線AB的解析式為：y=-x-1，拋物線為： ,

①∵0＜t＜3，∴h=-t+2t-1-(-t-1)=-t+3t ；
② 存在
∵ M(1,0)∴N(1,-2)，∴MN=2， MN//DE,∴只要DE=MN=2即可

1）當(dāng)拋物線在直線上方時(shí)，由-t+3t =2，解得t=1或t=2,

當(dāng)t=1時(shí)MN與DE重合，舍去，所以t=2，此時(shí)P(2,0),
2）當(dāng)拋物線在直線下方時(shí)，由t+3t =2，解得，

此時(shí)和，綜上所述P點(diǎn)共有：

，，共三個(gè)