Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BAC=20°，點(diǎn)D是劣弧

AC

上一點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AB，垂足E，交直線AC于F，直線DB交直線AC于點(diǎn)G，使△DFG成為等腰三角形的點(diǎn)D有

3

個(gè)．

Answer 1

分析：由AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BAC=20°，點(diǎn)D是劣弧

AC

上一點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AB，可證得∠ADB=90°，∠GFD=∠AFE=90°-20°=70°，然后分別從①當(dāng)∠ADE=20°時(shí)，②當(dāng)∠ADE=50°時(shí)，③當(dāng)∠ADE=35°時(shí)，去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB，
∵∠BAC=20°，
∴∠GFD=∠AFE=90°-20°=70°，
①當(dāng)∠ADE=20°時(shí)，∠GDF=90°-20°=70°，
∴∠GDF=∠GFD，
∴DG=FG，
即△DFG成為等腰三角形；
②當(dāng)∠ADE=50°時(shí)，則∠GDF=40°，
∴∠DGF=180°-∠GDF-∠GFD=70°，
∴∠GFD=∠DGF，
∴DF=DG，
即△DFG成為等腰三角形；
③當(dāng)∠ADE=35°時(shí)，則∠GDF=55°，
∴∠DGF=180°-∠GDF-∠GFD=55°，
∴∠GDF=∠DGF，
∴DF=FG，
即△DFG成為等腰三角形；
∴使△DFG成為等腰三角形的點(diǎn)D有3個(gè)．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．