(2012•衡陽(yáng))如圖所示,已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,D在拋物線上,且AD平行x軸,交y軸于點(diǎn)F,AB的中點(diǎn)E在x軸上,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),點(diǎn)P(a,b)在拋物線上運(yùn)動(dòng).(點(diǎn)P異于點(diǎn)O)
(1)求此拋物線的解析式.
(2)過(guò)點(diǎn)P作CB所在直線的垂線,垂足為點(diǎn)R,
①求證:PF=PR;
②是否存在點(diǎn)P,使得△PFR為等邊三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
③延長(zhǎng)PF交拋物線于另一點(diǎn)Q,過(guò)Q作BC所在直線的垂線,垂足為S,試判斷△RSF的形狀.
分析:(1)根據(jù)題意能判斷出點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn),因此D、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,A、B關(guān)于x軸對(duì)稱,得到A、D的坐標(biāo)后,利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式.
(2)①首先根據(jù)拋物線的解析式,用一個(gè)未知數(shù)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后表示出PF、RF的長(zhǎng),兩者進(jìn)行比較即可得證;
②首先表示RF的長(zhǎng),若△PFR為等邊三角形,則滿足PF=PR=FR,列式求解即可;
③根據(jù)①的思路,不難看出QF=QS,若連接SF、RF,那么△QSF、△PRF都是等腰三角形,先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和,用180°減去這個(gè)和值即可判斷出△RSF的形狀.
解答:解:(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),
∴A、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱;
∵E是AB的中點(diǎn),
∴O是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),又B(2,1)
∴A(2,-1)、D(-2,-1);
由于拋物線的頂點(diǎn)為(0,0),可設(shè)其解析式為:y=ax2,則有:
4a=-1,a=-
1
4

∴拋物線的解析式為:y=-
1
4
x2

(2)①證明:由拋物線的解析式知:P(a,-
1
4
a2),而R(a,1)、F(0,-1),
則:PF=
(a-0)2+(-
1
4
a2+1)2
=
1
16
a4+
1
2
a2+1
=
1
4
a2+1,PR=1-(-
1
4
a2)=
1
4
a2+1.
∴PF=PR.

②由①得:RF=
a2+4
;
若△PFR為等邊三角形,則RF=PF=PR,得:
a2+4
=
1
4
a2+1,即:
1
16
a4-
1
2
a2-3=0,得:
a2=-4(舍去),a2=12;
∴a=±2
3
,-
1
4
a2=-3;
∴存在符合條件的P點(diǎn),坐標(biāo)為(2
3
,-3)、(-2
3
,-3).

③同①可證得:QF=QS;
在等腰△SQF中,∠1=
1
2
(180°-∠SQF);
同理,在等腰△RPF中,∠2=
1
2
(180°-∠RPF);
∵QS⊥BC、PR⊥BC,
∴QS∥PR,∠SQP+∠RPF=180°
∴∠1+∠2=
1
2
(360°-∠SQF-∠RPF)=90°
∴∠SFR=180°-∠1-∠2=90°,
即△SFR是直角三角形.
點(diǎn)評(píng):該題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的確定、矩形的性質(zhì)、特殊三角形的判定等知識(shí),綜合性較強(qiáng).在解答題目時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合,并靈活應(yīng)用前面小題中證得的結(jié)論.
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103
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(1)當(dāng)t為何值時(shí),PQ∥BO?
(2)設(shè)△AQP的面積為S,
①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
②若我們規(guī)定:點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則新坐標(biāo)(x2-x1,y2-y1)稱為“向量PQ”的坐標(biāo).當(dāng)S取最大值時(shí),求“向量PQ”的坐標(biāo).

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