Question

如圖，已知拋物線（b是實數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C.

1.點B的坐標為  ▲  ，點C的坐標為  ▲  （用含b的代數(shù)式表示）；

2.請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；

3.請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

1.B（b，0），C（0，）

2.見解析

3.見解析

【解析】⑴令x=0,y=0,求得點B的坐標和點C的坐標

⑵假設(shè)存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，點P坐標（x，y），連接OP，利用四邊形PCOB的面積求得x+4y=16，過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，求得△PEC≌△PDB，得出x=y，解得x，y的值，根據(jù)△PEC≌△PDB，求出b的值,從而得出點P坐標

⑶假設(shè)存在這樣的點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似，由兩種可能：當(dāng)∠OCQ=90°時，△QOA≌△OQC；當(dāng)∠OQC=90°時，△QOA≌△OCQ.分別求出點Q的坐標

解：⑴B（b，0），C（0，）；

⑵假設(shè)存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形.

  設(shè)點P坐標（x，y），連接OP，

⑶假設(shè)存在這樣的點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似.

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.

∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x軸.

∵b＞2，∴AB＞OA. ∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此時∠OQB =90°.

由QA⊥x軸知QA∥y軸，∴∠COQ=∠OQA.

∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.

（Ⅰ）當(dāng)∠OCQ=90°時，△QOA≌△OQC. ∴AQ=CO= .

由AQ=