Question

如圖，在平面直角坐標系中，半徑為5的⊙P經過原點O，交x的正半軸于點A（2a，0），交y軸的正半軸于點C，經過點P且與x垂直的直線交兩弧及圓于點B、D、E，弧OBA與弧ODA關于x軸對稱，以點D為頂點且過C點的拋物線交⊙P于另一點F．
（1）當a=3時
①填空：D點的坐標為

 

；E點的坐標為

 

；C點的坐標為

 

；
②求出此時拋物線的函數(shù)關系式及F點的坐標；
③除C點外，直線BC與②中的拋物線是否存在其它公共點？若存在，求其它公共點的坐標；若不存在，請說明理由；
（2）是否存在實數(shù)a，使得以D、C、E、F為頂點的四邊形組成菱形？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①當a=3時，2a=6，利用垂徑定理就可以求出OH=3，由勾股定理就可以求出HP，易得HB，可知E點坐標，又根據(jù)軸對稱很容易得出四邊形OBAD是菱形，就得DH=HB而得出點D的坐標．利用三角形全等可以得到GE=HB，求出OC，從而求出C點坐標．
②利用C點和D點的坐標求出拋物線的解析式，根據(jù)拋物線的對稱性可知F點的坐標．
③根據(jù)B、C的坐標求出BC的解析式，利用兩圖象的解析式求出交點坐標判斷是否存在另一交點．
（2）設出D（a，h），根據(jù)菱形的性質：對角線互相垂直平分以及勾股定理就可以求出滿足條件的a的值．

解答：解：（1）①連接OP，OD，OB，AB，AD，CE，作CF⊥BE于點G，交⊙P于點F．
∴∠CGE=90°
∵BE⊥AO
∴∠GHO=90°，OB=OA，OH=AH=

1

2

OA=a
∵弧OBA與弧ODA關于x軸對稱
∴OD=OB，AD=AB
∴OD=OB=AD=AB
∴四邊形OBAD是菱形
∴HB=HD
∵∠GHO=90°，∠CGE=90°，∠AOC=90°
∴四邊形COHG是矩形
∴CG=OH，GH=CO
∵OC∥BE
∴

CE

=

OB

∴CE=OB
∴Rt△CGE≌Rt△OHB
∴GE=HB
∵A（2a，0）
∴OA=2a，且a=3
∴OA=6
∴OH=3，在Rt△OPH中由勾股定理得：
PH=

52-32

PH=4
∴HB=1，
∴HD=1，GE=1，GH=CO=8，HE=9
∴D（3，1），B（3，-1），E（3，9），C（0，8）
故答案為：D（3，1），E（3，9），C（0，8）
②設拋物線的解析式為：y=a（x-3）²+1由題意，得
8=9a+1
a=

7

9

∴拋物線的解析式為：y=

7

9

(x-3)2+1，根據(jù)拋物線的對稱性可以得知
C點F點關于BE對稱，當y=8時，求得x=6，所以F（6，8）．
③設BC的解析式為：y=kx+b，則

-1=3k+b 8=b

解得：

k=-3 b=8

∴直線BC的解析式為：y=-3x+8
∴

y=-3x+8 y= 7 9 (x-3)2+1

解得：x1=0，x2=

15

7

∴除C點外，直線BC與②中的拋物線的另一個公共點為：（

15

7

，

11

7

）；

（2）設D（a，h），則B（a，-h），E（a，10-h）
假設以D、C、E、F為頂點的四邊形組成菱形，則DE與EF互相垂直平分，設DE與EF相交于點G，則DG=EG
∴10-3h=h
∴h=

5

2

，∴BD=2h=5
∴D、P兩點重合
∴a=

52 -( 5 2 )2

=

5

2

3

．

點評：本題考查垂徑定理，勾股定理，菱形的判定與性質，矩形的判定與性質，全等三角形的運用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等多個知識點．