Question

如圖，以△ABC三邊為邊，分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，平行四邊形ADEF是菱形？請說明理由．
（3）當△ABC滿足什么條件時，平行四邊形ADEF是正方形？不必說出理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質推出∠BCE=∠FCA=60°，求出∠BCA=∠FCE，證△BCA≌△ECF，推出AD=EF=AB，同理得出DE=AF，即可得出答案；
（2）根據菱形的判定證出即可；
（3）根據正方形的判定證出即可．

解答：（1）證明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=CF，BC=CE，∠BCE=∠ACF，
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE，
即∠BCA=∠FCE，
在△BCA和△ECF中

BC=CE ∠BCA=∠ECF AC=CF

，
∴△BCA≌△ECF，
∴AB=EF，
∵AB=AD，
∴AD=EF，
同理DE=AF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）解：當AB=AC且∠BAC≠60°時，四邊形ADEF是菱形，
理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF，
∵AC=AB，
∴AD=AF，
∵四邊形ADEF是平行四邊形，AD=AF，
∴平行四邊形ADEF是菱形；

（3）解：當AB=AC，∠BAC=150°時，四邊形ADEF是正方形，
理由是：∵四邊形ADEF是平行四邊形，
已證：AD=AF，∠DAF=90°，
∴平行四邊形ADEF是正方形．

點評：本題考查了對平行四邊形、菱形、正方形的判定的理解和運用，同時也運用了等邊三角形性質和全等三角形的性質和判定，題目較好，有一定的難度．