Question

一條拋物線(xiàn)y=

1

4

x²+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，

3

2

）與（4，

3

2

）．
（1）求這條拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）現(xiàn)有一半徑為1，圓心P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求圓心P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中即可得出二次函數(shù)的解析式．進(jìn)而可求出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)圓與y軸相切時(shí)，那么圓心的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為1，可將其橫坐標(biāo)（分正負(fù)兩個(gè)）代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)圓與x軸相切時(shí)，那么圓心的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為1，然后仿照①的方法即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由拋物線(xiàn)過(guò)（0，

3

2

），（4，

3

2

）兩點(diǎn)，
得

n= 3 2 1 4 ×42+4m+n= 3 2

，
解得

m=-1 n= 3 2

．
∴拋物線(xiàn)的解析式是：y=

1

4

x²-x+

3

2

，（3分）
由y=

1

4

x²-x+

3

2

=

1

4

（x-2）²+

1

2

，得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)（2，

1

2

）；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀）
①當(dāng)圓P與y軸相切時(shí)，有|x₀|=1，
∴x₀=±1
由x₀=1，得y₀=

1

4

×1-1+

3

2

=

3

4

由x₀=-1，得y₀=

1

4

×（-1）²-（-1）+

3

2

=

11

4

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（1，

3

4

），P₂（-1，

11

4

）；
②當(dāng)圓P與x軸相切時(shí)，有|y₀|=1
∵拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在x軸的上方，y₀＞0，∴y₀=1
由y₀=1，得

1

4

x₀²-x₀+

3

2

=1
解得x₀=2±

2

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₃（2-

2

，1），P₄（2+

2

，1）
綜上所述，圓心P的坐標(biāo)為P₁（1，

3

4

），P₂（-1，

11

4

），P₃（2-

2

，1），P₄（2+

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及切線(xiàn)的判定，要注意的是（2）題中要分與x軸相切和與y軸相切兩種情況進(jìn)行討論，不要漏解．