Question

9．如圖①，已知直線y=-$\frac{1}{2}$x+3分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B．點(diǎn)P是射線AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．把線段PO繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)線段為PO′，再延長PO′到C使CO′=PO′，連結(jié)AC，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，0），△APC的面積為S．
（1）直接寫出OA和OB的長，OA的長是6，OB的長是3；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上（不含端點(diǎn)）時(shí)，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)以A，P，C為頂點(diǎn)的三角形和△AOB相似時(shí)，求出所有滿足條件的m的值；
（4）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P關(guān)于OC的對稱點(diǎn)P′落在直線AB上時(shí)，m的值是-$\frac{30}{11}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，可得OA，OB的長；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得PO′，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得PC的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（4）根據(jù)待定系數(shù)法，可得OC的解析式，PP′的解析式，根據(jù)解方程組，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，可得P′點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）由直線y=-$\frac{1}{2}$x+3可知A（6，0），B（0，3），
∴OA=6，OB=3，
故答案為：6，3； 
（2）∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，0），
∴OP=m．
∵線段PO繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得
對應(yīng)線段為PO′=m．
再延長PO′到C使CO′=PO′，
∴PC=2m．
∵PA=6-m，
∴S=$\frac{1}{2}$（6-m）•2m=-m²+6m（0＜m＜6）；
（3）當(dāng)0≤m＜6時(shí)，
∵以A，P，C為頂點(diǎn)的三角形和△AOB相似，
∴$\frac{6-m}{2m}$=$\frac{3}{6}$，解得m=3，
或$\frac{6-m}{2m}$=$\frac{6}{3}$，解得m=1.2；
當(dāng)m＜0時(shí)，
∵以A，P，C為頂點(diǎn)的三角形和△AOB相似，
∴$\frac{6-m}{-2m}$=$\frac{3}{6}$，m的值不存在，
或$\frac{6-m}{-2m}$=$\frac{6}{3}$，解得m=-2，
綜上所述：m=3，m=1.2，m=-2；
（4）如圖1：
，
P（m，0），C（m，-2m）
OC的解析式為y=-2x，
PP′的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$m，
聯(lián)立OC與PP′，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m}{5}}\\{y=-\frac{2}{5}m}\end{array}\right.$，
D（$\frac{m}{5}$，-$\frac{2}{5}$m），
P′橫坐標(biāo)2×$\frac{m}{5}$-m=-$\frac{3}{5}$m，縱坐標(biāo)2×（-$\frac{2}{5}$m）-0=-$\frac{4}{5}$m，
P′（-$\frac{3}{5}$m，-$\frac{4}{5}$m）．
將P′點(diǎn)的坐標(biāo)代入AB，得
-$\frac{4}{5}$m=-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{5}$m）+3，
解得m=-$\frac{30}{11}$，
故答案為：-$\frac{30}{11}$．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)綜合體，利用三角形的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，利用相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏；利用線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式得出P′點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．