Question

已知：如圖，A是⊙O₁、⊙O₂的一個交點，點M是O₁O₂的中點，過點A的直線BC垂直于MA，分別交⊙O₁、⊙O₂于B、C．
（1）求證：AB=AC；
（2）若O₁A切⊙O₂于點A，弦AB、AC的弦心距分別為d_l、d₂，求證：d₁+d₂=O₁O₂；
（3）在（2）條件下，若d₁d₂=1，設⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為R、r，求證：R²+r²=

(R2+r2)2

R2r2

．

Answer 1

分析：（1）作O₁D⊥AB于點D，O₂E⊥AC于點E，分別運用垂徑定理得到BD=AD，AE=CE，易得AB=AC；
（2）利用梯形中位線定理，即可O₁D+O₂E=2AM，d₁+d₂=O₁O₂；
（3）根據相似三角形的性質，表示出d₁=

R

r

，d₂=

r

R

；再結合（2）的結論，進行證明．

解答：證明：（1）分別作O₁D⊥AB于點D，O₂E⊥AC于點E．
則AB=2AD，AC=2AE．
∵O₁D∥AM∥O₂E，
∵M為O₁O₂的中點，
∴AD=AE，AB=AC．

（2）∵O₁A切⊙O₂于點A，
∴O₁A⊥O₂A，
又∵M為O₁O₂的中點，O₁O₂=2AM
在梯形O₁O₂ED中，
∵AM為梯形的中位線，O₁D+O₂E=2AM，
∴O₁D+O₂E=O₁O₂，
即d₁+d₂=O₁O₂．

（3）∵O₁A⊥O₂A，
∴∠AO₁D=∠O₂AE，
∴Rt△O₁AD∽Rt△AO₂E．
∴

AD

O2E

=

O1D

AE

=

O1A

O2A

，
即

AD

d2

=

d1

AE

=

R

r

．
∴AD•AE=d₁•d₂=1．
即由（1）（2）知，AD=AE=1，O₁O₂=d₁+d₂，
∴d₁=

R

r

，d₂=

r

R

，
∴R²+r²=O₁O₂²=（d₁+d₂）²=（

R

r

+

r

R

）²=

(R2+r2)2

R2r2

．

點評：解答此題要注意利用相交兩圓的特點，作出輔助線．構造直角三角形和梯形，利用其性質建立起各量之間的聯(lián)系．