Question

【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°,BC=6.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒2個單位的速度運(yùn)動,同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個單位的速度運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時,P、Q同時停止運(yùn)動,連結(jié)PQ、QA.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒.

（1）當(dāng)CQ=2BP時,求t的值；

（2）當(dāng)t為何值時QP=QA；

（3）若線段PQ的中垂線與線段BC相交（包括線段的端點(diǎn)）,則t的取值范圍是 .（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）4；（2）4.5；（3）1.5≤t≤3

【解析】試題分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PE、BE，根據(jù)勾股定理列方程，解方程求出t；

（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理列式計算．

試題解析：解：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=12，AC= ，由題意得，CQ=2t，BP=12﹣2t，則2t=2（12﹣2t），得t=4；

（2）作PE⊥BQ于E，則PE∥AC，∴△BPE∽△BAC，∴ ，解得，PE= ，BE=6﹣t，則EQ=EC+CQ=3t，∴PQ2=3（6﹣t）2+9t2，∵∠ACQ=90°，∴AQ2=AC2+CQ2=108+4t2，由題意得，108+4t2=3（6﹣t）2+9t2，解得，t=4.5；

（3）當(dāng)BP=BQ時，12﹣2t=6+2t，解得，t=1.5，當(dāng)CP=CQ時，3（6﹣t）2+t2=（2t）2，解得，t=3，則當(dāng)1.5≤t≤3時，線段PQ的中垂線與線段BC相交，故答案為：1.5≤t≤3．