Question

【題目】已知拋物線y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．

（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；

（2）設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A，B（點A在點B的右側），與y軸交于點C，A，B，C三點都在⊙P上．

①試判斷：不論m取任何正數，⊙P是否經過y軸上某個定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，說明理由；

②若點C關于直線x的對稱點為點E，點D（0，1），連接BE，BD，DE，△BDE的周長記為l，⊙P的半徑記為r，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①定點F的坐標為（0，1）；②．

【解析】

（1）令y=0，再求出判別式，判斷即可得出結論；

（2）先求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），

①判斷出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出結論；

②先設出BD=n，再判斷出∠DCE=90°，得出DE是⊙P的直徑，進而求出BE=2n，DE=n，即可得出結論．

（1）令y＝0，則x2+mx﹣2m﹣4＝0，

∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；

（2）令y＝0，則x2+mx﹣2m﹣4＝0，

∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，

∴x＝2或x＝﹣（m+2），

∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），

∴OA＝2，OB＝m+2，

令x＝0，則y＝﹣2（m+2），

∴C（0，﹣2（m+2）），

∴OC＝2（m+2），

①通過定點（0，1）理由：如圖，

∵點A，B，C在⊙P上，

∴∠OCB＝∠OAF，

在Rt△BOC中，tan∠OCB，

在Rt△AOF中，tan∠OAF，

∴OF＝1，

∴點F的坐標為（0，1）；

②如圖1，

由①知，點F（0，1）．

∵D（0，1），

∴點D在⊙P上，

∵點E是點C關于拋物線的對稱軸的對稱點，

∴∠DCE＝90°，

∴DE是⊙P的直徑，

∴∠DBE＝90°，

∵∠BED＝∠OCB，

∴tan∠BED，

設BD＝n，在Rt△BDE中，tan∠BED，

∴BE＝2n，根據勾股定理得：DEn，

∴l＝BD+BE+DE＝（3）n，rDEn，

∴．