Question

【題目】已知長方形紙片，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，將沿翻折到，射線與交于點(diǎn).點(diǎn)在邊上，將沿翻折到，射線與交于點(diǎn).

（1）如圖1，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，直接寫出以為頂點(diǎn)的兩對(duì)相等的角，并求的度數(shù)；

（2）如圖2，若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，且，，求與的度數(shù)；

（3）若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）.

Answer 1

【答案】（1）∠AEN=∠NEF，∠BEM=∠FEM；∠MEN=90°；（2）∠FEG=24°，∠MEN=102°；（3）∠MEN=90°-α．

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，平角的定義，角的和差定義計(jì)算即可；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平角的定義，可得出∠AEN +∠BEM=（180°-∠FEG），再結(jié)合所給的兩個(gè)等式可得出∠FEG的度數(shù)；根據(jù)∠MEN=180°-（∠AEN+∠BEM），求出∠AEN+∠BEM即可解決問題；
（3）先畫出圖形，根據(jù)（2）中的思路即可分析出∠MEN與∠FEG之間的等量關(guān)系，即可得出結(jié)果．

解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，

以E為頂點(diǎn)的兩對(duì)相等的角分別為： ∠AEN=∠NEF，∠BEM=∠FEM．
∴∠NEF=∠AEF，∠MEF=∠BEF，
∴∠MEN=∠NEF+∠MEF=∠AEF+∠BEF=（∠AEF+∠BEF）=∠AEB，
∵∠AEB=180°，
∴∠MEN=×180°=90°；

（2）由（1）可得∠AEN=∠AEF，∠BEM=∠BEG，
∴∠AEN +∠BEM =∠AEF+∠BEG=（∠AEF+∠BEG）=（∠AEB-∠FEG）．

∴∠AEN +∠BEM=（180°-∠FEG）①，

又，，

∴兩式相加得∠AEN+∠BEM=2∠FEG+30°②，

由①②可得，（180°-∠FEG）=2∠FEG+30°，解得∠FEG=24°，

∴∠AEN+∠BEM =（180°-24°）=78°，
∴∠MEN=180°-（∠AEN+∠BEM） =180°-78°=102°．

故的度數(shù)為24°，的度數(shù)為102°.
（3）如圖3，若點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)，∠FEG=α．

根據(jù)（2）知，∠MEN=180°-（AEN+∠BEM）=180°-（∠AEF+∠BEG）=180°-(180°+∠FEG)=90°-∠FEG．

∴∠MEN=90°-α．