13、在正2004邊形A1A2…A2004各頂點上隨意填上1，2，…501中的一個數(shù)．試證明：一定存在四個頂點滿足如下條件：
（1）這四個頂點構(gòu)成的四邊形為矩形；
（2）此四邊形相對兩頂點所填數(shù)之和相等．
分析：要證明其為矩形，首先要了解矩形的性質(zhì)，然后再依據(jù)題中條件進行證明，第二問中在多邊形各頂點中，兩個頂點的和在一個大區(qū)間中，所以至少有兩組頂點所填數(shù)之和相等．
解答：證明：（1）由題意知，頂點A1與Ai=1002為一組關(guān)于中心對稱的點，其中i=1，2，…1002．
則2004個頂點可分為1002組，
順次連接每兩組的頂點，均可得到一個四邊形，
由于對角線互相平分且相等，
所以，得到的四邊形是矩形．

（2）由題意，設(shè)在頂點A1上所填的數(shù)為a1，則
2≤a1+ai=1002≤501×2，
即2到1002共有1001個不同的數(shù)，
又1002組有1002個數(shù)，由抽屜原則知，至少有兩組頂點所填數(shù)之和相等，
則此兩組頂點即為所求的四個頂點．
點評：熟練掌握矩形的性質(zhì)及判定，會證明四邊形為矩形，會進行一些簡單的應(yīng)用問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

知識回顧：
（1）如圖1，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，我們把△DEF稱為△ABC的中點三角形．則S△DEF：S△ABC=
 
；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，我們把四邊形EFGH稱為正方形ABCD的中點四邊形，此時四邊形EFGH的形狀是
 
，S四邊形EFGH：S四邊形ABCD=
 
；
（3）實踐探究：
如圖3，在正五邊形ABCDE中，若點F、G、H、M、N分別是邊AB、BC、CD、DE、EA的中點，則中點五邊形FGHMN的形狀是
 
；若正五邊形ABCDE的中心為點O，連接OE、ON，求S五邊形FGHMN：S五邊形ABCDE的值．
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（4）拓展歸納：
在正n邊形A1A2 …An中，若點B1、B2 …Bn分別是邊A1A2、A2A3、…、AnA1的中點，則中點n邊形B1B2 …Bn的面積與正n邊形A1A2 …An的面積之比為Sn邊形B1B2…Bn：Sn邊形A1A2…An=
 
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

知識回顧：
（1）如圖1，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，我們把△DEF稱為△ABC的中點三角形．則S△DEF：S△ABC=________；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，我們把四邊形EFGH稱為正方形ABCD的中點四邊形，此時四邊形EFGH的形狀是________，S四邊形EFGH：S四邊形ABCD=________；
（3）實踐探究：
如圖3，在正五邊形ABCDE中，若點F、G、H、M、N分別是邊AB、BC、CD、DE、EA的中點，則中點五邊形FGHMN的形狀是________；若正五邊形ABCDE的中心為點O，連接OE、ON，求S五邊形FGHMN：S五邊形ABCDE的值．

（4）拓展歸納：
在正n邊形A1A2 …An中，若點B1、B2 …Bn分別是邊A1A2、A2A3、…、AnA1的中點，則中點n邊形B1B2 …Bn的面積與正n邊形A1A2 …An的面積之比為數(shù)學(xué)公式：數(shù)學(xué)公式=________．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在正2004邊形A1A2…A2004各頂點上隨意填上1，2，…501中的一個數(shù)．試證明：一定存在四個頂點滿足如下條件：
（1）這四個頂點構(gòu)成的四邊形為矩形；
（2）此四邊形相對兩頂點所填數(shù)之和相等．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在正2004邊形A1A2…A2004各頂點上隨意填上1，2，…501中的一個數(shù)．試證明：一定存在四個頂點滿足如下條件：
（1）這四個頂點構(gòu)成的四邊形為矩形；
（2）此四邊形相對兩頂點所填數(shù)之和相等．

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