Question

【題目】已知，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸的正半軸、y軸的正半軸上，且OA、OC（）的長是方程的兩個(gè)根．

（1）如圖，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）如圖，將矩形OABC沿某條直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕交CB于點(diǎn)D，交OA于點(diǎn)E．求直線DE的解析式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P在直線DE上，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（8，0）；（2）；（3）存在點(diǎn)或或，使以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【解析】

（1）通過解一元二次方程可求出OA的長，結(jié)合點(diǎn)A在x軸正半軸可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）連接CE，設(shè)OE=m，則AE=CE=8-m，在Rt△OCE中，利用勾股定理可求出m的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線DE的解析式；

（3）根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，2a-6），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（c，-c+4），分AB為邊和AB為對角線兩種情況考慮：①當(dāng)AB為邊時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)可得出關(guān)于a，c的二元一次方程組，解之可得出c值，再將其代入點(diǎn)Q的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論；②當(dāng)AB為對角線時(shí)，利用平行四邊形的對角線互相平分，可得出關(guān)于a，c的二元一次方程組，解之可得出c值，再將其代入點(diǎn)Q的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．綜上，此題得解．

（1）解方程x2-12x+32=0，得：x1=4，x2=8．

∵OA、OC的長是方程x2-12x+32=0的兩個(gè)根，且OA＞OC，點(diǎn)A在x軸正半軸上，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0）．

（2）連接CE，如圖4所示．

由（1）可得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）．

設(shè)OE=m，則AE=CE=8-m．

在Rt△OCE中，∠COE=90°，OC=4，OE=m，

∴CE2=OC2+OE2，即（8-m）2=42+m2，

解得：m=3，

∴OE=3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0）．

同理，可求出BD=3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，4）．

設(shè)直線DE解析式為：

∴

∴直線DE解析式為：

（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），

∴直線AC的解析式為y=-x+4，AB=4．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，2a-6），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（c，-c+4）．

分兩種情況考慮，如圖5所示：

①當(dāng)AB為邊時(shí)， ，

解得：c1=，c2=，

∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（，）；

②當(dāng)AB為對角線時(shí)，，

解得： ，

∴點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（，- ）．

綜上，存在點(diǎn)或或，使以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形