Question

已知關(guān)于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù)．
（1）求k的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x²+4x+k-1的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請你結(jié)合這個新的圖象回答：當直線y=

1

2

x+b（b＜k）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）綜合根的判別式及k的要求求出k的取值；
（2）對k的取值進行一一驗證，求出符合要求的k值，再結(jié)合拋物線平移的規(guī)律寫出其平移后的解析式；
（3）求出新拋物線與x軸的交點坐標，再分別求出直線y=

1

2

x+b經(jīng)過點A、B時的b的取值，進而求出其取值范圍．本題第二問是難點，主要是不會借助計算淘汰不合題意的k值．

解答：解：（1）由題意得，△=16-8（k-1）≥0．
∴k≤3．
∵k為正整數(shù)，
∴k=1，2，3；

（2）設(shè)方程2x²+4x+k-1=0的兩根為x₁，x₂，則
x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

k-1

2

．
當k=1時，方程2x²+4x+k-1=0有一個根為零；
當k=2時，x₁•x₂=

1

2

，方程2x²+4x+k-1=0沒有兩個不同的非零整數(shù)根；
當k=3時，方程2x²+4x+k-1=0有兩個相同的非零實數(shù)根-1．
綜上所述，k=1和k=2不合題意，舍去，k=3符合題意．
當k=3時，二次函數(shù)為y=2x²+4x+2，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為y=2x²+4x-6；

（3）設(shè)二次函數(shù)y=2x²+4x-6的圖象與x軸交于A、B兩點，則A（-3，0），B（1，0）．
依題意翻折后的圖象如圖所示．
當直線y=

1

2

x+b經(jīng)過A點時，可得b=

3

2

；
當直線y=

1

2

x+b經(jīng)過B點時，可得b=-

1

2

．
由圖象可知，符合題意的b（b＜3）的取值范圍為-

1

2

＜b＜

3

2

．

（3）依圖象得，要圖象y=

1

2

x+b（b小于k）與二次函數(shù)圖象有兩個公共點時，顯然有兩段．
而因式分解得y=2x²+4x-6=2（x-1）（x+3），
第一段，當y=

1

2

x+b過（1，0）時，有一個交點，此時b=-

1

2

．
當y=

1

2

x+b過（-3，0）時，有三個交點，此時b=

3

2

．而在此中間即為兩個交點，此時-

1

2

＜b＜

3

2

．
第二段，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折后，
開口向下的部分的函數(shù)解析式為y=-2（x-1）（x+3）． 顯然，
當y=

1

2

x+b與y=-2（x-1）（x+3）（-3＜x＜1）相切時，y=

1

2

x+b與這個二次函數(shù)圖象有三個交點，若直線再向上移，則只有兩個交點．
因為b＜3，而y=

1

2

x+b（b小于k，k=3），所以當b=3時，將y=

1

2

x+3代入二次函數(shù)y=-2（x-1）（x+3）整理得，
4x²+9x-6=0，△＞0，所以方程有兩根，那么肯定不將有直線與兩截結(jié)合的二次函數(shù)圖象相交只有兩個公共點．這種情況故舍去．
綜上，-

1

2

＜b＜

3

2

．

點評：考查知識點：一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)及函數(shù)圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數(shù)的結(jié)合等問題．不錯的題目，難度不大，綜合性強，考查面廣，似乎是一個趨勢或熱點．