Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AC=5，兩條對角線相交于點O．以OB、OC為鄰邊作第1個平行四邊形OBB₁C，對角線相交于點A₁；再以A₁B₁、A₁C為鄰邊作第2個平行四邊形A₁B₁C₁C，對角線相交于點O₁；再以O₁B₁、O₁C₁為鄰邊作第3個平行四邊形O₁B₁B₂C₁，…，依此類推，則第n個平行四邊形的面積是（　�。�

• A．

  12

  2n

• B．

  12

  2n-1

• C．

  24

  2n

• D．

  12

  2n+1

Answer 1

分析：首先利用勾股定理求出BC的長，進而求出了矩形的面積，直角三角形ABC中，有斜邊的長，有直角邊AB的長，BC的值可以通過勾股定理求得，有了矩形的長和寬，面積就能求出了，易求出OCB₁B是個菱形．那么它的對角線垂直，它的面積=對角線積的一半，我們發(fā)現(xiàn)第一個平行四邊形的對角線正好是原矩形的長和寬，那么第一個平行四邊形的面積是原矩形的一半；依此類推第n個平行四邊形的面積就應該是

1

2n

×原矩形的面積．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，AC=5，AB=3，
∴∠ABC=90°，BC=4，
∴S_矩形ABCD=AB•BC=3×4=12，
∵OB∥B₁C，OC∥BB₁，
∴四邊形OBB₁C是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四邊形OBB₁C是菱形．
∴OB₁⊥BC，A₁B=

1

2

BC=2，OA₁=3，
∴S_菱形OBB1C=3，
同理：四邊形A₁B₁C₁C是矩形，
∴S_{矩形A1B1C1C}=A₁B₁•B₁C₁=

3

2

；
第n個平行四邊形的面積是：S_n=12×

1

2n

=

12

2n

，
故選A．

點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質，菱形的性質和勾股定理等知識點的綜合運用，本題中找四邊形的面積規(guī)律是個難點．