一張矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
（1）如圖，將紙片沿CE對折，使點B落在x軸上的點D處，求D點的坐標(biāo)；
（2）在（1）中，設(shè)BD與CE的交點為P，如果點B、P在拋物線y=x2+bx+c上，求b、c的值；
（3）如果將矩形紙片沿某直線l對折，使點B落在坐標(biāo)軸上的點F處，且BF與l的交點Q恰好落在（2）的拋物線上．除了上述的點D外，這樣的點F是否存在？如果存在，求出點F的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．
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分析：（1）由對折可知BC=CD=5，運(yùn)用勾股定理即可求得D點的坐標(biāo)；
（2）由圖形的對稱性和梯形的中位線定理求得P點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得解析式即可；
（3）利用（2）中的求法，假設(shè)點F分別落在x、y軸上，進(jìn)一步利用圖形的對稱性表示出點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式解決問題．
解答：解：（1）OD=
CD2-OC2
=
52-42
=3，
所以點D的坐標(biāo)為（3，0）；

（2）由折疊知，CE垂直平分BD，P是BD的中點，過點P作OA的平行線，交OC于點H，則PH是梯形ODBC的中位線，
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∴P(
OD+BC
2
，
OC
2
)，
即P（4，2）；
又∵點B（5，4）和點P（4，2）在拋物線y=x2+bx+c上，
∴
4=52+5b+c
2=42+4b+c
，
解得b=-7，c=14；

（3）由（2）知，拋物線的解析式為y=x2-7x+14，
假設(shè)點F存在，
當(dāng)點F在x軸上時，設(shè)F（m，0），
則BF與直線l的交點Q的為(
m+5
2
，2)，
代入拋物線的解析式，解得：m=1或m=3，
即所求坐標(biāo)為F（1，0）或F（3，0）（怒為點D）；
當(dāng)點F在y軸上時，設(shè)F（0，n），則Q(
5
2
，
n+4
2
)，
代入拋物線解析式，解得n=
3
2
，
即所求坐標(biāo)為F(0，
3
2
)．
點評：此題考查利用勾股定理，圖形的對稱性，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及梯形的中位線等知識解決問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標(biāo)原點，A點坐標(biāo)為（10，0），C點坐標(biāo)為（0，6），D是BC邊上的動點（與點B、C不重合）．如圖②，將△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞cE，將△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直線DG，DF重合．
（1）圖①中，若△COD翻折后點F落在OA邊上，求直線DE的解析式；
（2）設(shè)（1）中所求直線DE與x軸交于點M，請你猜想過點M、C且關(guān)于y軸對稱的拋物線與直線DE的公共點的個數(shù)，在圖①的圖形中，通過計算驗證你的猜想；
（3）圖②中，設(shè)E（10，b），求b的最小值．精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），點P是OA邊上的動點（與點O、A不重合）．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞cE，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．
（1）設(shè)P（x，0），E（0，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；
（2）如圖2，若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的情況下，在該拋物線上是否存在點Q，使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標(biāo)．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖一，平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標(biāo)原點，A點坐標(biāo)為（10，0），C點坐標(biāo)為（0，6），D是BC邊上的動點（與點B，C不重合），現(xiàn)將△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞cE，將△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直線DG、DF重合．
（1）如圖二，若翻折后點F落在OA邊上，求直線DE的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)D（a，6），E（10，b），求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并求b的最小值；
（3）一般地，請你猜想直線DE與拋物線y=-
1
24
x2+6的公共點的個數(shù)，在圖二的情形中通過計算驗證你的猜想；如果直線DE與拋物線y=-
1
24
x2+6始終有公共點，請在圖一中作出這樣的公共點．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點，點A在x的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
①如圖，將紙片沿CE對折，點B落在x軸上的點D處，求直線EC解析式；
②在①中，設(shè)BD與CE的交點為P，若點P，B在拋物線y=x2+bx+c上，求b，c的值；
③若將紙片沿直線l對折，點B落在坐標(biāo)軸上的點F處，l與BF的交點為Q，若點Q在②的拋物線上，求l的解析式．精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），點P是OA邊上的動點（與點O、A不重合）．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞cE，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．
（Ⅰ）求證：△POE∽△BAP；
（Ⅱ）設(shè)P（x，0），E（0，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；
（Ⅲ）如圖2，若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅳ）在（Ⅲ）的情況下，在該拋物線上是否存在點Q，使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標(biāo)．
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