Question

矩形ABCD中，AD＝2，2＜AB＜4，現(xiàn)將一個(gè)直徑MN為2的量角器如圖1擺放，使其0°線的端點(diǎn)N與C重合，M與B重合，O為MN的中點(diǎn)，量角器的半圓弧與矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD分別交于P、Q，設(shè)P、Q在量角器上的讀數(shù)分別是x、y．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(不必寫出自變量的取值范圍)．

(2)將量角器繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使它的直徑落在AC上，如圖2所示，為的中點(diǎn)，此時(shí)量角器的半圓弧交DC于K，若K點(diǎn)的讀數(shù)為z，那么z與y的數(shù)量關(guān)系是什么，請(qǐng)說明理由．

(3)如圖2所示，若∥KO，求出此時(shí)AB的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　(1)連結(jié)OQ、OP 　　∵ABCD是矩形， 　　∴AC＝BD． 　　∴BE＝CE． 　　∴∠EBO＝∠OCE 　　∵OQ＝OB， 　　∴∠EBO＝∠OQB． 　　∴∠BOQ＝180°－2∠EBO． 　　同理可證 　　∠COP＝180°－2∠OCE． 　　∴∠BOQ＝∠COP＝x°．　　2分 　　∴y°＝∠COQ＝180°－∠BOQ＝180°－x° 　　∴y＝180－x．　　3分 　　(2)z與y的數(shù)量關(guān)系是：z＝y(tǒng)　　4分 　　如下圖，連結(jié)K、OP、OQ． 　　∵∠ACD＋∠BCA＝90°， 　　∴∠ACD＝90°－∠BCA． 　　∴z°＝180°－2∠ACD 　　＝180°－2(90°－∠BCA ) 　�。�2∠BCA 　　＝180°－∠COP．　　 　　∴z＝180－x． 　　∵y＝180－x, 　　∴z＝y(tǒng)．　　5分 　　(3)如下圖，連結(jié)B、K、KO 　　∵C是量角器的直徑， 　　∴∠KC＝90°． 　　∵∠BCD＝90°， 　　∴∠KC＋∠BCD＝180°． 　　∴BO∥K． 　　∵B∥KO， 　　∴KOB是平行四邊形，　　6分 　　∴K＝BO＝BC＝1． 　　∵C＝MN＝2， 　　∴K＝C． 　　∴∠ACD＝30°．　　7分 　　∴AC＝4 　　∴ 　　∴與對(duì)角線的交點(diǎn)重合如下圖， 　　在Rt△ADC中， 　　∵AD＝2， 　　∴DC＝2． 　　∵ABCD是矩形， 　　∴DC＝AB＝2．　　8分