Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使△CDH的周長(zhǎng)最小，求出H點(diǎn)的坐標(biāo)并求出最小周長(zhǎng)值；

（3）如圖2，連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合），經(jīng)過(guò)A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求面積的最小值及E點(diǎn)坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）求拋物線的解析式為；

（2）H點(diǎn)的坐標(biāo)(， ) ，最小周長(zhǎng)值是

（3）面積的最小值為，E點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）.

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A（3，0），B（4，1）的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）如圖1中，連接DC、AC，AC交對(duì)稱軸于H，連接DH，此時(shí)△CDH的周長(zhǎng)最�。�（3）如圖2中，作BD⊥OA于D．首先證明△EOF是等腰直角三角形，當(dāng)OE⊥AC時(shí)，△EOF的面積最�。�

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，

解得： ，

∴

(2)∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，3）；

容易求出D（2，0）

對(duì)稱軸為

A、D兩點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)，

連接AC交對(duì)稱軸于H，連接CD,DH

此時(shí)△CDH的周長(zhǎng)最小

C（0，3），A （3，0）

當(dāng)時(shí)， H(,)

CD+DH+CH=CD+CH+HA=CD+AC=

（3）如圖3：作EM⊥AO于M，

∵直線AB的解析式為：y=x-3，

∴易證得∠OAF=45°，

∵OC=OA=3

∴∠OAC=45°，

∴∠OAC=∠OAF=45°，

∴AC⊥AF

∴∠EAF=90°

∴EF是圓的直徑

∴∠EOF＝=90°∠OFE=∠OAC=45°

∴△OEF是等腰直角三角形

∴，

∴當(dāng)OE最小時(shí)最小，

∵OE⊥AC時(shí)OE最小，又∵AC=OA=3

∴CE=EA

∴OE=，

∴=

又∵E是AC的中點(diǎn)

∴E（， ）