Question

已知：如圖，直線y=-

3

x+4

3

與x軸相交于點(diǎn)A，與直線y=

3

x相交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）請(qǐng)判斷△OPA的形狀并說明理由；
（3）動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著O、P、A的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)（E不與點(diǎn)O，A重合），過點(diǎn)E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．
求：①S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．②當(dāng)t為何值時(shí)，S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由兩直線相交可列出方程組，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將y=0代入y=-

3

x+4

3

，可求出OA=4，作PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2

3

，利用tan∠POA=

3

，可知∠POA=60°，由OP=4．可知△POA是等邊三角形；
（3）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，在Rt△EOF中，∠EOF=60°，OE=t，則EF=

3

2

t，OF=

1

2

t，則S=

1

2

•OF•EF=

3

8

t²；
②當(dāng)4＜t＜8時(shí)，如圖，設(shè)EB與OP相交于點(diǎn)C，易知：CE=PE=t-4，AE=8-t，可得AF=4-

1

2

t，EF=

3

2

（8-t），有OF=OA-AF=4-（4-

1

2

t）=

1

2

t，S=

1

2

（CE+OF）•EF=-

3

8

3

t²+4

3

t-8

3

．

解答：解：（1）由題意可得：

y=- 3 x+4 3 y= 3 x

，
解得

x=2 y=2 3

，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2

3

）；

（2）將y=0代入y=-

3

x+4

3

，-

3

x+4

3

=0，
∴x=4，即OA=4，
作PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2

3

，
∵tan∠POA=

2 3

2

=

3

，
∴∠POA=60°，
∵OP=

22+(2 3 )2

=4，
∴△POA是等邊三角形；

（3）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，如圖，在Rt△EOF中，
∵∠EOF=60°，OE=t，
∴EF=

3

2

t，OF=

1

2

t，
∴S=

1

2

•OF•EF=

3

8

t²．
當(dāng)4＜t＜8時(shí)，如圖，設(shè)EB與OP相交于點(diǎn)C，
∵CE=PE=t-4，AE=8-t，
∴AF=4-

1

2

t，EF=

3

2

（8-t），
∴OF=OA-AF=4-（4-

1

2

t）=

1

2

t，
∴S=

1

2

（CE+OF）•EF=

1

2

（t-4+

1

2

t）×

3

2

（8-t），
=-

3

8

3

t²+4

3

t-8

3

；
②當(dāng)0＜t≤4時(shí)，S=

3

8

t2，t=4時(shí)，S_最大=2

3

；
當(dāng)4＜t＜8時(shí)，S=-

3

8

3

t²+4

3

t-8

3

=-

3

8

3

（t-

16

3

）²+

8

3

3

，
t=

16

3

時(shí)，S_最大=

8

3

3

．
∵

8

3

3

＞2

3

，
∴當(dāng)t=

16

3

時(shí)，S最大，最大值為

8

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：把動(dòng)點(diǎn)問題與三角形的性質(zhì)相結(jié)合，增加了難度，在解答時(shí)要注意t在三個(gè)取值范圍內(nèi)的情況，不要漏解．