Question

如圖，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值．

Answer 1

解：如圖，作點B關(guān)于直線AC的對稱點B′，交AC與E，連接B′M，
過B′作B′G⊥AB于G，交AC于F，
由對稱性可知，B′M+MN=BM+MN≥B′G，
當且僅當M與F、點N與G重合時，等號成立，AC=10，
∵點B與點B′關(guān)于AC對稱，
∴BE⊥AC，
∴S_△ABC=AC•BE=AB•BC，得BE=4，BB′=2BE=8，
因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°，則∠B′BG=∠ACB，又∠B′GB=∠ABC=90°，
得△B′GB∽△ABC，=，
B′G==16，故BM+MN的最小值是16cm．
故答案為：16cm．
分析：作點B關(guān)于直線AC的對稱點B′，交AC與E，連接B′M，過B′作B′G⊥AB于G，交AC于F，再由對稱性可知
B′M+MN=BM+MN≥B′G，再由等號成立條件得出AC=10，再根據(jù)△ABC的面積分別求出BE、BB′的值，由相似三角形的判定定理得出△B′GB∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
點評：本題考查的是最短路線問題及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．