精英家教網(wǎng)已知△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交BC于F交圓O于D，DE切圓O于D交AC的延長線于E，連BD，若BD=3
2
，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的長．
分析：利用切線的性質(zhì)以及圓周角、弦切角、弧之間的關(guān)系證明直線平行和三角形相似分別求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，從而求出BC的值．
解答：解：∵DE是圓O的切線，
∴∠CDE=∠CBD=∠DAE．
∴△ADE∽△DCE
∴
DE
EC
=
AE
DE

∴DE2=AE•EC
∴DE2=（AC+EC）EC
∵DE+EC=6
∴DE=6-EC
∴（6-EC）2=AC•EC+EC2
∵∠CBD=∠DAC，
∴∠CDE=∠DAC．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠CDE=∠BAD，BD=DC=3
2
．
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠CDE=∠BCD．
∴BC∥DE．
∴△ABD∽△DCE，
∴
AB
CD
=
BD
CE

∴AB•EC=18
∵AB：AC=3：2
設(shè)AB=3x，AC=2x，EC=y，則有
3xy=18
(6-y)2=y2+2xy

解得：
x=3
y=2

∴AB=9，AC=6，EC=2
∴DE=4
∵BC∥DE．
∴△AFC∽△ADE
∴
AC
AE
=
FC
DE
=
AF
AD

∴
6
8
=
FC
4

∴FC=3
可以證明△DFC∽△BFA
∴
DC
AB
=
FC
FA

∴
3
2
9
=
3
FA

FA=
9
2
2

∴
3
4
=
9
2
2
AD

∴AD=6
2

∴DF=
3
2
2

∵DF•AF=BF•FC
∴
3
2
2
×
9
2
2
=3BF
∴BF=
9
2

∴BC=
9
2
+3=
15
2
．
故BC的長為
15
2
．
點評：本題是一道切線的性質(zhì)運用的解答題，考查了切割線定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性質(zhì)、平行線的判定．綜合性較強，難度較大．
練習(xí)冊系列答案
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（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）若P是AY上一點，AP=4，且sinA=
35
，
①如圖2，當點D與點P重合時，求R的值；
②當點D與點P不重合時，試求PD的長（用R表示）．

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