Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是C，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，平移線段AC，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在二次函數(shù)在第四象限的圖象上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E落在直線AB上，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖2，在（2）的條件下，連接CD，交CD軸于點(diǎn)M，點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接PC，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，F為頂點(diǎn)的三角形與△COM相似？若存在，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）D（4，﹣5）；（3）或

【解析】

（1）由一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)求出b、c即可確定二次函數(shù)解析式；

（2）由平移的性質(zhì)設(shè)E（m，m﹣3），則D（m+3，m﹣6），代入拋物線的解析式則可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）分兩種情況討論：①△COM∽△PFC，②△COM∽△CFP，可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

解：∵一次函數(shù)y＝x﹣3的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，

∴A（3，0），B（0，﹣3），

∵點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是C，

∴C（0，3），

∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)C，

∴，

∴b＝2，c＝3，

∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2+2x+3．

（2）∵A（3，0），C（0，3），平移線段AC，點(diǎn)A的對應(yīng)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E，

設(shè)E（m，m﹣3），則D（m+3，m﹣6），

∵D落在二次函數(shù)在第四象限的圖象上，

∴﹣（m+3）2+2（m+3）+3＝m﹣6，

m1＝1，m2＝﹣6（舍去），

∴D（4，﹣5），

（3）∵C（0，3），D（4，﹣5），

∴，

解得，

∴直線CD的解析式為y＝﹣2x+3，

令y＝0，則x＝，

∴M（，0），

∵一次函數(shù)y＝x﹣3的圖象與x軸交于A（3，0），C （0，3），

∴AO＝3，OC＝3，

∴∠OAC＝45°，

過點(diǎn)P作PF⊥AC，點(diǎn)P作PN⊥OA交AC于點(diǎn)E，連PC，

∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形，

設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），

∴PE＝PN﹣EN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∴EN＝﹣m+3，AE＝，FE＝，

∴CF＝AC﹣AE﹣EF＝，

①當(dāng)△COM∽△PFC，，

∴，

解得m1＝0，舍去，，

②當(dāng)△COM∽△CFP時(shí)，，

∴，

解得m1＝0（舍去），，

綜合可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．