Question

【題目】解方程x4﹣6x2+5＝0，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，通常解法是：設x2＝y(tǒng)，則原方程變形為關于y的方程y2﹣6y+5＝0①，解得y1＝1，y2＝5，從而x2＝1，x＝±1或x2＝5，x＝±，所以原方程有四個根x1＝，x2＝﹣，x3＝1，x4＝﹣1．

（1）填空：由原方程得到方程①的過程中，利用　 　法達到降次的目的，體現了　 　的數學思想．

（2）解方程（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）＝120．

Answer 1

【答案】（1）換元，轉化;（2）x1＝1，x2＝﹣6．

【解析】

（1）設x2=y，原方程中x4=y2，-6x2=-6y，將x2全部換元成y，利用換元法達到降次的目的，體現了轉化的數學思想，

（2）（x+1）（x+4）=x2+5x+4，（x+2）（x+3）=x2+5x+6，設x2+5x=y，則原方程變形為關于y的方程（y+4）（y+6）=120，解出y的值，再求x的值即可．

（1）設x2＝y，

則原方程中x4＝y2，﹣6x2＝﹣6y，

將x2全部換元成y，

利用換元法達到降次的目的，體現了轉化的數學思想，

故答案為：換元，轉化，

（2）（x+1）（x+4）＝x2+5x+4，（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，

設x2+5x＝y，

則原方程變形為關于y的方程（y+4）（y+6）＝120，

解得：y＝6或﹣16，

即x2+5x＝6或x2+5x＝﹣16，

解一元二次方程x2+5x＝6得：x1＝1，x2＝﹣6，

方程x2+5x＝﹣16無實數根，

故原方程的解為：x1＝1，x2＝﹣6．